QuangDuong1201

Nhân đây mình có đôi lời về hình học phẳng và hình học phẳng Olympic.

@hovutenha Bạn nên tìm hiểu cách sử dụng góc định hướng. Thực lòng, đó không phải công cụ khó dùng, chỉ là bạn chưa thạo/quen. Bằng góc định hướng/đoạn thẳng định hướng, bạn có thể chứng minh không phụ thuộc hình vẽ (đâu phải lúc nào điểm này cũng nằm trong đoạn thẳng này, đâu phải lúc nào tia này cũng nằm giữa hai tia kia).

Hầu hết người học hình học phẳng/không gian đều cho rằng vẽ hình là việc phải làm. Thậm chí trong các kì thi, vẽ hình là điều bắt buộc. Có điều đó là vì nhiều người học bị phụ thuộc nhiều vào hình vẽ để phán đoán (thay vì nắm chắc giả thiết), và hình vẽ luôn tỏ ra là một công cụ hữu ích trong việc giải toán, đặc biệt là khi phải vẽ thêm yếu tố phụ. Khi bạn nắm rất chắc phát biểu của một bài toán hình học, bằng các công cụ định hướng, bạn có thể chứng minh mà không phụ thuộc/không cần hình vẽ nữa, giống như khi giải quyết một bài toán số học, giải phương trình, bất đẳng thức thì gần như chẳng bao giờ cần vẽ gì vậy. Tất nhiên là công việc chứng minh sẽ khó khăn hơn khi giả thiết nhiều (hay nói cách khác là hình rất rối).

Cái mà tất cả học sinh có thể thu được khi học hình học phẳng là kĩ năng lập luận và chứng minh toán học. Hệ tiên đề và các định lý hình học phẳng chính là nơi đầu tiên mà học sinh được làm quen với logic hình thức. Trong khi đó, khả năng tưởng tượng và óc quan sát không phải điều mà ai cũng có, và không phải ai cũng có thể luyện tập mà đạt được. Cái óc quan sát có thể được áp dụng trong hình học phẳng nhưng nó sẽ vô dụng nếu học những phân ngành khác của toán học, khi mà các đối tượng không thể trực quan hóa theo cách quen thuộc như trong hình học phẳng. Nhà toán học David Hilbert từng nói về các khái niệm nguyên thủy điểm-đường thẳng-mặt phẳng trong hình học Euclid rằng chúng có thể được coi là cái bàn, cái ghế, cốc bia. Điểm-đường thẳng-mặt phẳng là những thứ mà con người có trực giác mạnh về chúng. Nhiều học sinh, giáo viên toán, hay người nghiên cứu toán học nói chung thường chỉ trích cách dạy hình học phẳng Olympic ở Việt Nam vì hình quá rối. Kĩ năng lập luận, chứng minh toán học, logic hình thức đã không được chú trọng, thay vào đó, các đòi hỏi về tiểu tiết, kĩ thuật, năng lực trực giác và óc quan sát bị đẩy lên quá cao. Trong khi đó, kĩ năng lập luận và logic mới là thứ được sử dụng rộng rãi, không chỉ trong toán học, mà tất cả các ngành học.

Người học tốt hình học phẳng có thể vẫn kém khi tiếp cận toán học hiện đại (mình là một ví dụ đây) hoặc ngược lại, dù không học tốt hình học phẳng thì có thể bạn vẫn học tốt khi học ngành toán ở đại học, hay ngành khác (nói vui là hai mệnh đề "Bạn học tốt hình học phẳng hoặc hình học phẳng Olympic" và "Bạn học tốt ngành nào đó ở đại học" có thể không tương đương). Hi vọng chia sẻ này sẽ có ích với những bạn nào thấy bản thân yếu hình học phẳng Olympic nói riêng (và toán Olympic nói chung) và đang có ý định học ngành toán khi vào đại học, và là lời cảnh tỉnh cho những bạn học tốt toán Olympic và đang muốn theo học ngành toán.

Mình giải thích như sau.

Vì khi $x\to 0$ thì $\sin x \sim x$ nên khi $x\to 0$ thì $\sin\left(\frac{x}{2}\right) \sim \frac{x}{2}$. Ngoài ra, khi $x\to 0$ thì $\cos\left(\frac{x}{2}\right)\to 1$. Vì vậy, khi $x\to 0$ thì $x\cos\left(\frac{x}{2}\right) \to x$. Do đó khi $x\to 0$ thì $\sin\left(\frac{x}{2}\right) + x\cos\left(\frac{x}{2}\right) \to \frac{x}{2} + x$.

Mình thì sẽ thích cách tính và diễn giải như sau hơn, dù dài hơn.

\[  \frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right) + x\cos\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{\frac{1}{x}\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{1}{x}\sin\left(\frac{x}{2}\right) + \cos\left(\frac{x}{2}\right)}    \]

Vì

\[  \lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x}\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{2} \qquad\text{và}\qquad \lim\limits_{x\to 0} \left(\frac{1}{x}\sin\left(\frac{x}{2}\right) + \cos\left(\frac{x}{2}\right)\right) = \frac{1}{2} + 1  \]

nên

\[  \lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x}\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{1}{x}\sin\left(\frac{x}{2}\right) + \cos\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{1/2}{3/2} = \frac{1}{3}. \]

• trong phát biểu này, hai đối tượng điều khiển là $T$ và $L$, còn $P$, $D$, $K$ phụ thuộc vào $P$
• $HL$ cắt $(O)$ tại $K$ không phải một phát biểu chặt chẽ vì đường thẳng và đường tròn có thể có nhiều nhất 2 hai giao điểm. Trong bài toán này, $K$ nên được định nghĩa là điểm đối xứng với $H$ qua $L$
• Bài toán có thể được phát biểu lại để đối tượng điều khiển duy nhất là điểm $P$.