Anh Huyện nhanh tay thật ..
Cách 2 cho bài toán 3:
Từ giả thiết ta thu được: $\sum { \frac { 1 }{ a^{ 4 }+1 } } =1.$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz:
$1=\sum { \frac { \frac { 1 }{ { a }^{ 4 } } }{ \frac { 1 }{ { a }^{ 4 } } +1 } \ge \frac { { (\sum { \frac { 1 }{ { a }^{ 2 } } ) } }^{ 2 } }{ \sum { \frac { 1 }{ { a }^{ 4 } } +3 } } } $
$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^4}+3\ge (\sum \frac{1}{a^2})^2\Leftrightarrow 3\ge 2\sum \frac{1}{a^2b^2}$
Sử dụng AM-GM ta có
$ 9\ge 6\sum { \frac { 1 }{ { a }^{ 2 }{ b }^{ 2 } } \ge 2{ \frac { { (a+b+c) }^{ 2 } }{ (abc)^{ 2 } } } }$
$\Leftrightarrow { 9(abc) }^{ 2 }\ge 2{ (a+b+c) }^{ 2 }\Leftrightarrow 3abc\ge \sqrt { 2 } (a+b+c)\ \ (1)$
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM-GM và kết hợp (1): $\frac { abc(a+b+c) }{ ab+bc+ac } \ge \frac { \sqrt { 2 } { (a+b+c) }^{ 2 } }{ 3(ab+bc+ac) } \ge \sqrt { 2 }$
Dấu bằng xảy ra tại $a=b=c=\sqrt [ 4 ]{ 2 }$
Bài toán 4. Với $a,b,c\geq 0$ và $ab+bc+ac=2+abc$. Chứng minh:
\[\dfrac{ab(2-c)}{a^2+abc+b^2}+\dfrac{bc(2-a)}{b^2+abc+c^2}+\dfrac{ac(2-b)}{a^2+abc+c^2} \leq 1\]
- Zaraki, canhhoang30011999, mathstu và 8 người khác yêu thích