nguyengoldz

cho a,b,c là các số  thực dương thoả mãn $21ab+2bc+8ac\leq 12$ tìm giá trị nhỏ nhất của của $P=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}$

đặt $ a=\frac{1}{3}x,b=\frac{4}{5}y,c=\frac{3}{2}z \rightarrow P=\frac{6}{2x}+\frac{5}{2y}+\frac{4}{2z}$
$=\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}+...+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}+...+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2z}+...+\frac{1}{2z} \geq \frac{15}{2}\sqrt[15]{\frac{1}{x^{6}y^{5}.z^{4}}}$
mặt khác có : $15 \geq 7xy+3yz+5zx=xy+..+xy+yz+..+yz+zx+..+zx \geq 15\sqrt[15]{x^{12}y^{10}z^{8}}$
$\rightarrow x^{12}y^{10}z^{8} \leq 1 \rightarrow x^6y^5z^4 \leq 1$
Do đó minP= $\frac{15}{2} \leftrightarrow a=\frac{1}{3},b=\frac{4}{5},c=\frac{3}{2}$ 

Áp dụng bđt AM-GM ta có : 
$P=a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}=a+\frac{1}{2}\sqrt{a.4b}+\frac{1}{4}\sqrt[3]{a.4b.16c} \leq \frac{4}{3} (a+b+c)=\frac{4}{3}$
Dấu = xảy ra $\leftrightarrow a=\frac{16}{21},b=\frac{4}{21},c=\frac{1}{21}$

là $\sum \frac{a^2+bc}{a+b}$ chứ không phải là $\sum \frac{a^2+bc}{b+c}$
bạn bị nhầm rồi

Giả sử $a\geq b\geq c=>a^2\geq b^2\geq c^2,\frac{1}{b+c}\geq \frac{1}{c+a}\geq \frac{1}{a+b}$ là 2 dãy đơn điệu cùng chiều nên theo bất đẳng thức hoán vị ta có :

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a^2}{a+b}<=>\frac{a^2+bc}{b+c}+\frac{b^2+ca}{c+a}+\frac{c^2+ab}{a+b}\geq \frac{b^2+bc}{b+c}+\frac{c^2+ca}{c+a}+\frac{a^2+ab}{a+b}=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{27}}=1$

Đây là đpcm

bạn xem lại chỗ này đi

Đặt $a=x+1,b=y+1,c=z+1 \rightarrow 0\leq x,y,z \leq 2 và x+y+z=3$
Giả sử x=max{x,y,z} $\rightarrow 1\leq x\leq 2$
$\rightarrow (x-1)(x-2) \leq 0$
Có $P=a^2+b^2+c^2=x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)+3=x^2+y^2+z^2+9$
Mặt khác $x^2+y^2+z^2=x^2+(y+z)^2-2yz \leq x^2+(3-x)^2=2x^2-6x+9=2(x-1)(x-2)+5 \leq 5$ (vì $y,z\geq 0 \rightarrow -2yz\leq 0$)
Do đó$ P \leq 14$
Dấu = xảy ra khi $(x,y,z)=(2,1,0) \leftrightarrow (a,b,c)=(3,2,1)$ và các hoán vị
 

Vì $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2 \rightarrow \frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z}=1$
Áp dụng bđt cauchy-schwarz có:
$x+y+z=(x+y+z)(\frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z}) \geq (\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1})^2$
$\rightarrow \sqrt{x+y+z}\geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$ (đpcm)
Dấu = xảy ra $\leftrightarrow x=y=z=\frac{3}{2}$

Đặt $ x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c} \rightarrow ab+bc+ca=1 và a,b,c<1 $
Bđt $\leftrightarrow (1-a^2)(1-b^2)(1-c^2) \leq abc\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}=abc(a+b)(b+c)(c+a) $

Use:$(1-a^2)(1-b^2) \leq (1-ab)^2=c^2(a+b)^2 $
cộng lại suy ra đpcm
 

Áp dụng cauchy-schawrz có:
$ \frac{(3+1)^2}{3(a^2+b^2+c^2)+3b^2} \leq \frac{9}{3(a^2+b^2+c^2)}+ \frac{1}{3b^2} $
$ \rightarrow \frac{16ab^2}{3(a^2+b^2+c^2)+3b^2} \leq \frac{3ab^2}{a^2+b^2+c^2} + \frac{ab^2}{3b^2} $
Tương tự vs 2 cái còn lại, cộng vào và chú ý bđt $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \geq 3(ab^2+bc^2+ca^2) $
Đặt VT=M, ta đc:
$\frac{16}{3}M \leq \frac{4(a+b+c)}{3}$
Từ đó suy ra đpcm

Bđt $\leftrightarrow 2-\frac{2a}{a+2}+3-\frac{3b}{b+3}+1-\frac{c}{c+1} \geq 6-\frac{6(a+b+c)}{a+b+c+6}$
$\leftrightarrow \frac{4}{a+2}+\frac{9}{b+3}+\frac{1}{c+1} \geq \frac{36}{a+b+c+6}$
Bđt cuối đúng theo Cauchy-Schwarz
Do đó ta có đpcm

Có $ F^2=(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2 $
Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$
Khi đó,dễ thấy: $(b-c)^2\leq b^2$ và $(c-a)\leq a^2 $ nên ta đi tìm max của P=$ a^2b^2(a-b)^2$
Áp dụng bđt AM-GM cho 3 số dương ta có:
$ 4a^2b^2(a-b)^2=(2ab)(2ab)(a^2-2ab+b^2)\leq [\frac{2(2ab)+(a^2-2ab+b^2)}{3}]^3 = (\frac{(a+b)^2}{3})^3$
Mặt khác có $a+b\leq a+b+c=1$
Do đó $F^2\leq \frac{1}{108}$
Vậy $ \frac{-\sqrt{3}}{18} \leq F \leq \frac{\sqrt{3}}{18}$
Dấu = xảy ra $ \leftrightarrow a= \frac{3+\sqrt{3}}{6} , b= \frac{3-\sqrt{3}}{6} , c=0 $ và các hoán vị 

bạn đi tìm max của /F/ là ra

Câu a) lm như bạn trên
Câu b) :
$ Theo câu a) có P \geq x+2y+3z-3 $
Do đó chỉ cần chứng minh:$ x+2y+3z \geq 6 $
$\leftrightarrow (x+2y+3z) + (\frac{1}{y} + \frac{2}{y} + \frac{3}{z} - 6) \geq 6 $
$\leftrightarrow (x+\frac{1}{x}) + 2(y+\frac{1}{y}) + 3(z+\frac{1}{z}) \geq 12$
Bđt này đúng theo AM-GM
Do đó ta có đpcm

Cách dùng UTC : 
Đánh giá $ 2a + \frac{1}{a} \geq \frac{a^2}{2} + \frac{5}{2} $
    $ \leftrightarrow \frac{(2-a)(a-1)^2}{2a} \geq 0 $ luôn đúng
Từ đó suy ra đpcm

Mọi người giúp em bài này với      

ta có : $A=2(x^2+y^2)+(8x^2+ \frac{z^2}{2})+(8y^2+ \frac{z^2}{2}) \geq 4xy+4yz+4zx \geq 4$

Ta có: $f(x) = | x-1 | + | 4-2x | + | 6-3x | + | 4x-16 | \geq | x-1+4-2x+6-3x+4x-16 | = 7$

Dấu bằng $\leftrightarrow 2 \leq x \leq 3$