Isidia

Trước tiên phải nói khái niệm của mình về mối quan hệ giữa combinatorics (tổ hợp) với sự kết hợp của từng chữ cái (nôm na như vậy cho dễ hiểu để khỏi phải giải thích lôi thôi) với nhau rất lờ mờ. Đại loại mình hiểu là ngành combinatorics một phần nghiên cứu về sự kết hợp giữa các phần tử với nhau trong một tập hợp, và nếu vậy liệu các chữ cái kết hợp với nhau có thể được mô tả bằng combinatorics hay không? Ví dụ trong một bảng chữ cái tiếng Anh có 26 ký tự, trong đó có 5 vowels (nguyên âm) và 21 consonnants (phụ âm). Vậy thì có bao nhiêu cách kết hợp giữa 5 nguyên âm và 21 phụ âm. Đây chỉ là bài toán đơn giản nhất mà mình nghĩ ra.

 

Nếu có ai biết thêm tài liệu hay ra đề bài dựa trên 2 lĩnh vực này thì mình xin đọc và lắng nghe. Mình phải ôn lại các kiến thức cơ bản về elementary combinatorics. Nhưng mình cảm thấy nó là một trò chơi thú vị.

 

Mình tìm được theorem (định lý) này nhưng chưa hiểu lắm, xin chia sẻ với mọi người:

 

https://encycla.com/...ization_Theorem

Mình nghe nhiều từ "formal" trong Toán học rất nhiều.

 

Ví dụ định nghĩa epsilon-delta của giới hạn, sự liên tục của hàm số, đạo hàm trong Giải tích cổ điển là những định nghĩa "formal".

 

Mình thấy những định nghĩa "formal" này thường là những định nghĩa khó hiểu với người không chuyên Toán. 

 

Thông thường quá trình tạo ra các định nghĩa hay khái niệm "formal" sẽ gắn liền với sự trừu tượng hóa (abstraction) trong Toán.

 

Vậy thật sự mà nói quá trình formalization là gì?

Hi vọng các bạn chuyên Toán sẽ giúp mình hiểu hơn về nó. 

 

 

 This series $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \cos(nx)=\cos(x)+\cos(2x)+\cos(3x)+...$ has attracted my curiosity because many prominent mathematicians in the XVIII century came up with contradictory results. Chiefly among these mathematicians are Euler and Lagrange. I have introduced this series in this thread, so please visit it to learn more on how Euler derived it.

Lagrange's approach

I have kept the links to many papers written by Euler, Lagrange, Daniel Bernoulli and d'Alembert on the famous problem of vibrating string. Among these papers, I am particularly interested in a paper of Lagrange entitled "Recherche sur la nature et la propagation du son" (Research on the nature of the propagation of wave) (see the entire work here). On page 110, he wrote:

"Supposons, pour simplifier le calcul, que la séries dont on veut prendre la somme soit généralement"

$$\cos(x)+\cos(2x)+\cos(3x)+\cos(4x)...$$

He rewrote the series in exponential forms, and formed a sum of two infinite terms:

$$=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}+\dfrac{e^{2ix}+e^{-2ix}}{2}+\dfrac{e^{3ix}+e^{-3ix}}{2}+\dfrac{e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}...$$

$$=\dfrac{e^{ix}+e^{2ix}+e^{3ix}+e^{4ix}}{2}...+=\dfrac{e^{-ix}+e^{-2ix}+e^{-3ix}+e^{-4ix}}{2}...$$

$$=\dfrac{1}{2}\left[e^{ix}+e^{2ix}+e^{3ix}+e^{4ix}...\right]+\dfrac{1}{2}\left[e^{-ix}+e^{-2ix}+e^{-3ix}+e^{-4ix}...\right]$$

Here we have two infinite geometric series with the common ratio $e^{ix}$ and $e^{-ix}$. We can write it in the form $\dfrac{1}{1-e^{ix}}$, but we need to subtract $1$ because the geometric series has $1$ as its first term, while our series do not have this.

$$=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{1-e^{ix}}-1\right]+\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{1-e^{-ix}}-1\right]$$

$$=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{1-e^{ix}}-\dfrac{1-e^{ix}}{1-e^{ix}}\right]+\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{1-e^{-ix}}-\dfrac{1-e^{-ix}}{1-e^{-ix}}\right]$$

$$=\dfrac{e^{ix}}{2(1-e^{ix})}+\dfrac{e^{-ix}}{2(1-e^{-ix})}$$

Adding them together, we have:

$$\dfrac{e^{ix}(1-e^{-ix})+e^{-ix}(1-e^{ix})}{2(1-e^{ix})(1-e^{-ix})}$$

$$=\dfrac{e^{ix}-+e^{-ix}-2}{2(1-e^{ix}-e^{-ix}+1)}=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2(-e^{ix}-e^{-ix}+2)}-\dfrac{2}{2(2-e^{ix}-e^{ix})}$$

$$=\dfrac{\cos(x)-1}{2-e^{ix}-e^{-ix}}==\dfrac{\cos(x)-1}{2-2\left(\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2}\right)}=\dfrac{\cos(x)-1}{2(1-\cos(x))}=-\dfrac{1}{2}$$

Thus, according to Lagrange, this series has the sum of $-\dfrac{1}{2}$.

However, we plug $x=0$ into $\cos(x)+\cos(2x)+\cos(3x)+...$, we will have a series of the form $1+1+1+1+1...=+\infty$

So this series admits two value. In our modern view, it is divergent. Yet Lagrange held on so tightly that he offered us an explanation that was very characteristic of mathematicians of his generation:

Mais, dira-t-on, comment peut-il se faire que la somme de la suite infinis $\cos(x)+\cos(2x)+\cos(3x)+...$ soit toujours égale à $-\dfrac{1}{2}$, puisque dans le cas $x=0$, elle devient nécessairement égale à une suite d'autant d'unités? Je ré ponds que cela provient des termes qui se détruisent naturellement dans tous les cas, excep té dans celui òu $x=0$. (page 111)

Lagrange then proceeds to examine the partial sum of this series. 

"Pour rendre la chose plus sensible, cherchons la somme de la suite:"

$$\cos(x)+\cos(2x)+\cos(3x)+\cos(4x)+...\cos(mx)$$

He used the formula for summing finite geometric series $\dfrac{1-r^{n+1}}{1-r}$. Rewrite the finite given series above as:

$$=\dfrac{e^{ix}+e^{2ix}+e^{3ix}+e^{4ix}+...e^{mix}}{2}+\dfrac{e^{-ix}+e^{-2ix}+e^{-3ix}+e^{-4ix}+...e^{-mix}}{2}$$

Apply the formula, substracting $1$ from the series as above, we have:

$$\dfrac{1-e^{(m+1)ix}}{1-e^{ix}}-\dfrac{1-e^{ix}}{1-e^{ix}}+\dfrac{1-e^{-(m+1)ix}}{1-e^{-ix}}-\dfrac{1-e^{-ix}}{1-e^{-ix}}=\dfrac{e^{ix}-e^{(m+1)ix}}{2(1-e^{ix})}+\dfrac{e^{-ix}-e^{-(m+1)ix}}{2(1-e^{ix})}$$

$$=\dfrac{(e^{ix}-e^{(m+1)ix})(2-2e^{-ix})+(2-2e^{-ix})(e^{-ix}-e^{-(m+1)ix})}{4(2-e^{ix}-e^{-ix})}$$

$$=\dfrac{\color{red}{2}(e^{ix}-1-e^{(m+1)ix}+e^{mix}+e^{-ix}-e^{-(m+1)ix}-1+e^{-mix})}{\color{red}{4}(2-e^{ix}-e^{-ix})}$$

$$=\dfrac{(e^{ix}-1-e^{(m+1)ix}+e^{mix}+e^{-ix}-e^{-(m+1)ix}-1+e^{-mix})}{2(2-e^{ix}-e^{-ix})}$$

$$=\dfrac{(e^{ix}+e^{-ix}-e^{mix}+e^{-mix}-(e^{(m+1)ix}+e^{-(m+1)ix})-2)}{2(2-e^{ix}-e^{-ix})}$$

$$=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2(2-e^{ix}-e^{-ix})}+\dfrac{e^{mix}+e^{-mix}}{2(2-e^{ix}-e^{-ix})}-\dfrac{e^{(m+1)ix}+e^{-(m+1)ix}}{2(2-e^{ix}-e^{-ix})}-\dfrac{\color{red}{2}}{\color{red}{2}(2-e^{ix}-e^{-ix})}$$

$$=\dfrac{\cos(x)+\cos(mx)-\cos[(m+1)x]-1}{2-2\left(\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)}=\dfrac{\color{red}{\cos(x)}+\cos(mx)-\cos(m+1)\color{red}{-1}}{2\color{red}{(1-\left(\cos(x)\right)})}$$

$$=\dfrac{\cos(mx)-\cos[(m+1)x]}{2{(1-\left(\cos(x)\right)})}-\dfrac{1}{2}$$

 

Proof that the concerned series is divergent for all $x$

In order to prove this, we need two theorems that are encountered in Calculus and Analysis:

Theorem 1: If a series is convergent, this implies that the limit of the sequence that makes up that series must tend to 0. 

Theorem 2 (this theorem is pointed out to me by Nguyễn Mạnh Linh, but the blog that contains this theorem along with its proof has been deleted):

Let $(x_{n})_{n=1}^{+\infty}$ be a sequence of real numbers, with $x$ being given. If all subsequences of $(x_{n})_{n=1}^{+\infty}$ contain a subsequence that converges to a limit, then $(x_{n})_{n=1}^{+\infty}$ also converges to that limit.

Now, using theorem 1, let assume that the series $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty cos(nx)$ is convergent. This implies that the sequence $(cos(nx))_{n=1}^{+\infty}$ converges to zero as n tends to infinity. Applying theorem 2, this imples that all subsequences of $(cos(nx))_{n=1}^{+\infty}$ contain a subsequence that converges to 0. Now, for the sequence $(cos(nx))_{n=1}^{+\infty}=\cos(x), \cos(2x), \cos(3x), \cos(4x),...$, we can extract a subsequence $(cos(2nx))_{n=1}^{+\infty}=\cos(2x), \cos(4x),...$ that tends to zero as n approaches infinity. This means $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \cos(2nx)=0$.

From trigonometry, we know that $\cos(2nx)=2\cos^2(nx)-1$. If $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \cos(nx)=0$, this means $\displaystyle\lim_{n\to\infty} 2\cos^2(nx)-1=2\cdot 0-1=-1$. This proves that  $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \cos(2nx)=-1$, hence  $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \cos(nx)=0$ is impossible. Thus, the series is divergent.

I wish to thank Vũ Tuấn Hiền for providing me guidance to this problem. His direction is important for me to decisively prove that this series is divergent.

Historical commentary:

 

This series and the method of using to sum it is demonstrated by the famed French mathematician Henri Lebesgue in his small lecture note on trigonometric series entitled "Leçons sur les séries trigonométriques professées au Collège de France" (page 35, section 21). He wrote: "Que l'on donne à la methode l'une ou l'autre forme, elle n'est rigoureuse que si l'on a étudié pour $|z|=1$, la série qui joue le rôle de (Z). Dans ce cas particulier, elle conduit à un résulta exact, mais, dans d'autres cas, elle peut conduire à des résultas incorrects, c'est ainsi que Lagrange écrivait l'égailité

$$0=\dfrac{1}{2}+\cos(x)+\cos(2x)+\cos(3x)+...$$

alors que la série du second membre est divergent, comme on le voit en calculant la somme de ses n premiers termes."

 

Mình từng muốn theo đuổi Toán nhưng do sức khỏe và khả năng nên không thể theo đuổi tiếp.

 

Mình quay lại với lĩnh vực mà mình giỏi nhì, sau lĩnh vực mình giỏi nhất là Sử học, đó là Ngôn ngữ học. Hiện mình đang theo đuổi ngành bệnh lý ngôn ngữ và phát âm (speech language therapy). Mình hiện đang ở Việt Nam, nhưng sẽ qua Mỹ để theo đuổi.

 

Có một điều mình thấy thật đáng trân trọng là thế hệ này đến thế hệ khác các học sinh giỏi Toán nối tiếp nhau để truyền cảm hứng và đam mê cháy bỏng. Mình thấy các bạn đã thành công lớn như Nguyễn Mạnh Linh hay Phạm Khoa Bằng đều chia sẻ kiến thức cho các em nhỏ hơn. Đến như mình, một người lạc đường ngoài ngành cũng được hưởng lây cái sự đam mê ấy, trong khi ngành Ngôn Ngữ học giống một bãi sa mạc hay con tàu ma. Lóp trước chẳng truyền gì cho nỗi cho lớp sau. Các dự thảo cũng khan hiếm. Chẳng ai tề tựu sau giờ học để cùng thảo luận và làm bài cùng nhau.

 

Điều gì khiến các bạn, những học sinh và sẽ là nhà Toán học tương lai, nối tiếp nhau để tiếp sức cho đam mê như vậy?

 

PS: Nhận định của mình về ngành Ngôn Ngữ Học chủ yếu dựa vào kinh nghiệm rất gần đây khi đi dự thính các lớp Hán-Nôm ở ĐHKHXHNV ở TP.HCM

Hello mọi người!
Mình từng học qua Calculus 1 và đã từng tiếp xúc với khái niệm giới hạn. Trong khuôn khổ chương trình, mình chỉ được giới thiệu qua loa định nghĩa epsilon delta. Mình được cho xem hình ảnh graph của "một đường cong bất kỳ". Vậy thôi!

 

Sau đó là chấp nhận tất cả các luật giới hạn như giới hạn tổng, giới hạn tích, giới hạn thương 2 hàm số. Sau này mình ngồi tự chứng minh các định luật kia với sự hướng dẫn của bạn Nguyễn Mạnh Linh thì thấy rất khó khăn, phải nói cực khó vì không hiểu mình đang làm gì hết cả.

 

Quan trọng hơn khi học, người ta chỉ nói giới hạn tồn tại khi nào, chứ không giải thích gì về việc khi nào và tại sao một giới hạn không tồn tại.

 

Mình muốn hỏi có ai có thể dùng ngôn ngữ đơn giản giải thích ý nghĩa epsilon delta và những trường hợp mà giới hạn không tồn tại được không?

 

Tính mấy cái giới hạn hàm hố đã có wolfram lo, hiểu nó mới khó!