tuanyeubeo2000

Hay lắm ! Hy vọng cậu sẽ dần hoàn thành nốt phần lời giải

phần lời giải mình bạn kia liệu cậu vất vả không 

Mình xin đăng thêm các bài sau:

Bài 132: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn: $ab+bc+ca=1$. Tìm GTNN:

$P=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}$

 

$ Ta\quad có\quad { P }^{ 2 }=\sum { \frac { 1 }{ { (a+b) }^{ 2 } }  } +2\sum { \frac { 1 }{ (a+b)(b+c) }  } .Đặt\quad \\ A=\sum { \frac { 1 }{ { (a+b) }^{ 2 } }  } ;B=2\sum { \frac { 1 }{ (a+b)(b+c) }  } .\quad Xét\quad B=2\sum { \frac { 1 }{ (a+b)(b+c) }  } \\ Ta\quad lại\quad có\quad 2\sum { \frac { 1 }{ (a+b)(b+c) }  } =\frac { 4(a+b+c) }{ \prod { (a+b) }  } .Chú\quad ý\quad \\ \prod { (a+b)\le  } (a+b+c)(ab+bc+ca)=a+b+c->B\ge 4.\quad Xét\quad A=\sum { \frac { 1 }{ { (a+b) }^{ 2 } }  } \\ Bây\quad giờ\quad ta\quad sẽ\quad chứng\quad minh\quad :\quad \sum { \frac { 1 }{ { (a+b) }^{ 2 } }  } \ge \frac { 9 }{ 4(ab+bc+ca) } .\quad Thật\quad vậy\quad :\\ Không\quad mất\quad tính\quad tổng\quad quát\quad giả\quad sử\quad c=\quad min\quad \left\{ a,b,c \right\} .\quad Ta\quad có\quad các\quad đánh\quad giá\quad sau\\ \sum { \frac { 1 }{ { (a+b) }^{ 2 } }  } =\frac { 1 }{ { (a+b) }^{ 2 } } +\frac { 2 }{ (a+c)(b+c) } +\frac { { (a-b) }^{ 2 } }{ { (a+c) }^{ 2 }{ (b+c) }^{ 2 } } \\ \ge \frac { 1 }{ { (a+b) }^{ 2 } } +\frac { 2 }{ (a+c)(b+c) } +\frac { { (a-b) }^{ 2 } }{ 4(ab+bc+ca){ (a+b) }^{ 2 } } .Tiếp\quad tục:\\ \frac { \sum { ab }  }{ { (a+b) }^{ 2 } } =\frac { ab }{ { (a+b) }^{ 2 } } +\frac { c }{ a+b } =\frac { ab }{ { (a+b) }^{ 2 } } +\frac { { 2c }^{ 2 } }{ (c+a)(c+b) } +\frac { c(c-a)(c-b) }{ \prod { (a+b) }  } \\ \ge \frac { ab }{ { (a+b) }^{ 2 } } +\frac { { 2c }^{ 2 } }{ (c+a)(c+b) } .\quad Đến\quad đây\quad \\ ->(\sum { ab } )(\sum { \frac { 1 }{ { (a+b) }^{ 2 } } )\ge \quad  } \frac { ab }{ { (a+b) }^{ 2 } } +\frac { { 2c }^{ 2 } }{ (c+a)(c+b) } +\frac { 2\sum { ab }  }{ (a+c)(b+c) } +\frac { { (a-b) }^{ 2 } }{ 4{ (a+b) }^{ 2 } } \\ =\frac { 9 }{ 4 } ->\sum { \frac { 1 }{ { (a+b) }^{ 2 } }  } \ge \frac { 9 }{ 4(ab+bc+ca) } =\frac { 9 }{ 4 } ->{ P }^{ 2 }=A+B\ge 4+\frac { 9 }{ 4 } =\frac { 25 }{ 4 } \\ ->P\ge \frac { 5 }{ 2 }  $

Cho ba số dương a,b,c. Chứng minh bất đẳng thức:

$\frac{4a^2+(b-c)^2}{2a^2+b^2+c^2}$ + $\frac{4b^2+(c-a)^2}{2b^2+c^2+a^2}$ + $\frac{4c^2+(a-b)^2}{2c^2+a^2+b^2}$ \geq 3

$ B=\frac { 4a^{ 2 }+(b-c)^{ 2 } }{ 2a^{ 2 }+b^{ 2 }+c^{ 2 } } +\frac { 4b^{ 2 }+(c-a)^{ 2 } }{ 2b^{ 2 }+c^{ 2 }+a^{ 2 } } +\frac { 4c^{ 2 }+(a-b)^{ 2 } }{ 2c^{ 2 }+a^{ 2 }+b^{ 2 } } \geq 3\\ <=>(2-\frac { 4a^{ 2 }+(b-c)^{ 2 } }{ 2a^{ 2 }+b^{ 2 }+c^{ 2 } } )+(2-\frac { 4b^{ 2 }+(c-a)^{ 2 } }{ 2b^{ 2 }+c^{ 2 }+a^{ 2 } } )+(2-\frac { 4c^{ 2 }+(a-b)^{ 2 } }{ 2c^{ 2 }+a^{ 2 }+b^{ 2 } } )\le 3\\ <=>\sum { \frac { { (b+c) }^{ 2 } }{ 2a^{ 2 }+b^{ 2 }+c }  } \le 3.\quad Ta\quad có\quad theo\quad C-S\quad cộng\quad mẫu\quad :\quad \frac { { a }^{ 2 } }{ x } +\frac { { b }^{ 2 } }{ y } \ge \frac { { (a+b) }^{ 2 } }{ x+y } \quad \\ ->\sum { \frac { { (b+c) }^{ 2 } }{ 2a^{ 2 }+b^{ 2 }+c }  } \le \sum { \frac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } +\sum { \frac { { c }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } } =3 }  } $

P/S: sau chỉnh latex cẩn thận nhé bạn

 

 

Bài 126: Cho $x\geq y\geq z\geq 0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của
$P=\frac{xy+yz+zx}{4}+\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{2}{(y+1)^2}+\frac{3}{(z+1)^2}$

$ ta\quad có\quad \frac { 1 }{ { (a+1) }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { (b+1) }^{ 2 } } \ge \frac { 1 }{ (a+b)(\frac { 1 }{ b } +a) } +\frac { 1 }{ (a+b)(b+\frac { 1 }{ a } ) } =\frac { 1 }{ ab+1 } .Áp\quad dụng\\ ->P\ge \frac { xy+yz+zx }{ 4 } +\frac { 1 }{ xz+1 } +\frac { 2 }{ yz+1 } \ge \frac { yz+zx+2 }{ 4 } +\frac { 4 }{ zx+yz+2 } -\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ yz+1 } +\frac { xy+1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 4 } \\ \ge 2-\frac { 3 }{ 4 } +\frac { yz+1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ yz+1 } (vì\quad xy\ge yz)\ge 3-\frac { 3 }{ 4 } =\frac { 9 }{ 4 }  $

Bài 123: ( GSTT GROUP)

$ Cho\quad x,y,z\ge 0\quad thõa\quad mãn\quad x,y\le \frac { 3 }{ 2 } và\quad 2x+2y+1=z.\quad Tìm\quad max\quad của\quad \\ P=(z-2)\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 1+4{ x }^{ 2 } }  } +\frac { 1 }{ \sqrt { 1+4{ y }^{ 2 } }  }  \right) +\frac { 1 }{ \sqrt { 4-z }  }  $

Áp dụng BĐT sau: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$

 

$P\geq \frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+(a+b+c)^{2}}+\frac{30(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^{2}}$

 

mà $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2 \Rightarrow 2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \Rightarrow ab+bc+ca=\frac{1}{2}((a+b+c)^{2}-2)$

 

$\Rightarrow P\geq \frac{9}{2+(a+b+c)^{2}}+\frac{15((a+b+c)^{2}-2)}{(a+b+c)^{2}}$

 

Tới đây đặt a+b+c=t chắc ổn rồi (mà không biết đúng sai nữa)

 

*Vẫn chỉ mới từng bước chập chững trong  toán học thôi, mong được ace chỉ giáo nhiều hơn     

Chú ý điểm rơi không tại tâm nhé bạn

Bài 122 ( PTNK-ĐHQG-TP.HCM):

$ Cho\quad a,b,c\ge 0\quad thõa\quad mãn\quad \sum { { a }^{ 2 }=2\quad .Tìm\quad min\quad của\quad \quad  } \\ P=\sum { \frac { 1 }{ { (a+b) }^{ 2 } }  } +\frac { 30(ab+bc+ca) }{ { (a+b+c) }^{ 2 } } $

 

Bài 120:(Lương Thế Vinh- Hà Nội-lần 3)

Cho các số thực a,b dương thỏa mãn $ab\geq 1$.Tìm GTNN của biểu thức:

$T=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}-\frac{32}{\sqrt{2a(1+a)+2b(1+b)+8}}$

$ Gt:ab\ge 1->\sqrt { ab } \ge 1.\quad Áp\quad dụng\quad bổ\quad đề\quad :\frac { 1 }{ 1+x } +\frac { 1 }{ 1+y } \ge \frac { 2 }{ 1+\sqrt { xy }  } (\sqrt { xy } \ge 1)\\ =>\frac { 1 }{ a+1 } +\frac { 1 }{ b+1 } \ge \frac { 2 }{ \sqrt { ab } +1 } (vì\quad :\sqrt { ab } \ge 1).Và\quad \\ 2a(a+1)\quad +2b(b+1)+8={ 2a }^{ 2 }+{ 2 }b^{ 2 }+2a+2b+8\ge 4ab+4+4\sqrt { ab } +4\ge 8\sqrt { ab } +4\sqrt { ab } +4=12\sqrt { ab } +4\\ =>P\ge \frac { 2 }{ t+1 } -\frac { 32 }{ \sqrt { 12t+4 }  } (t\ge 1).\quad Xét\quad thấy\quad P\ge -7.\quad Nên\quad <=>(t-1)(147{ t }^{ 2 }+318t+175)\ge 0(\quad đúng) $

Bài 121:  ( THPT Chuyên - Bình Long )

$ Cho\quad x,y,z\ge 0,thõa\quad mãn\quad \sum { x^{ 2 } } =2,với\quad x=\quad max\quad \left\{ x,y,z \right\} và\quad { y }^{ 2 }+z>0.\quad Tìm\quad GTNN\quad của\\ P=\frac { 6{ x }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+z } +\frac { 6{ y }^{ 2 } }{ { y }^{ 2 }+z } +\frac { z }{ 2x+{ y }^{ 3 } }  $

 

Bài 115:(Trường THPT Cẩm Thủy 1-Thanh Hóa)

cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $c(a^{2}+b^{2})= a+b$.Tìm GTNN của biểu thức:

P=$\frac{1}{(a+1)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{4}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

 

Bài 115 : $ Gt:a+b=c({ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 })\ge \frac { { (a+b) }^{ 2 } }{ 2 } c=>a+b\le \frac { 2 }{ c } .Ta\quad có\quad bổ\quad đề\quad sau\quad :\\ \frac { 1 }{ { (x+1) }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { (y+1) }^{ 2 } } \ge \frac { 1 }{ (x+y)(x+\frac { 1 }{ y } ) } +\frac { 1 }{ (x+y)(y+\frac { 1 }{ x } ) } =\frac { 1 }{ xy+1 } .Áp\quad dụng\quad ta\quad có\quad :\\ \frac { 1 }{ { (a+1) }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { (b+1) }^{ 2 } } \ge \frac { 1 }{ ab+1 } \ge \frac { 1 }{ \frac { { (a+b) }^{ 2 } }{ 4 } +1 } =\frac { 4 }{ { (a+b) }^{ 2 }+4 } \ge \frac { c^{ 2 } }{ 1+{ c }^{ 2 } } .Và\quad \frac { 1 }{ { (c+1) }^{ 2 } } \ge \frac { 1 }{ 2({ c }^{ 2 }+1) } \\ Chú\quad ý\quad thêm\quad (a+1)(b+1)(c+1)\le \frac { { (a+b+2) }^{ 2 }(c+1) }{ 4 } \le \frac { { (c+1) }^{ 3 } }{ { c }^{ 2 } } .\quad Đến\quad đây\quad :\\ =>P\ge \frac { { c }^{ 2 } }{ 1+{ c }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ 2(c^{ 2 }+1) } +\frac { { 4c }^{ 2 } }{ { (c+1) }^{ 3 } } (\quad đến\quad đây\quad hàm\quad c) $

 

Bài 117:(Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3)

Cho các số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện $x+y= 2016$.Tìm GTNN của biểu thức

$\sqrt{5x^{2}+xy+3y^{2}}+\sqrt{3x^{2}+xy+5y^{2}}+\sqrt{x^{2}+xy+2y^{2}}+\sqrt{2x^{2}+xy+y^{2}}$

 

Bài 117 : $ P=\sqrt { { 5x }^{ 2 }+xy+{ 3 }y^{ 2 } } +\sqrt { { 5y }^{ 2 }+xy+{ 3x }^{ 2 } } +\sqrt { { x }^{ 2 }+xy+{ 2 }y^{ 2 } } +\sqrt { { 2y }^{ 2 }+xy+z^{ 2 } } \\ =\sqrt { { (x+\frac { y }{ 2 } ) }^{ 2 }+{ (2x })^{ 2 }+\frac { 11{ y }^{ 2 } }{ 4 }  } +\sqrt { (y+\frac { x }{ 2 } )^{ 2 }+{ (2y) }^{ 2 }+\frac { 11{ x }^{ 2 } }{ 4 }  } +\sqrt { { (x+\frac { y }{ 2 } ) }^{ 2 }+\frac { 7{ y }^{ 2 } }{ 4 }  } +\sqrt { { (y+\frac { x }{ 2 } ) }^{ 2 }+\frac { 7{ x }^{ 2 } }{ 4 }  } \\ Áp\quad dụng\quad bđt\quad mincop-xki\quad ta\quad có\quad :\\ P\ge \sqrt { { (x+y+\frac { x+y }{ 2 } ) }^{ 2 }+{ (2x+2y) }^{ 2 }+\frac { 11 }{ 4 } { (x+y) }^{ 2 } } +\sqrt { { (x+y+\frac { x+y }{ 2 } ) }^{ 2 }+\frac { 7 }{ 4 } { (x+y) }^{ 2 } } =6048+4032=10080 $

 

Mình xin được đóng góp 1 bài toán thú vị sau:

 

Bài toán 11:
Cho $x, y, z$ và $t$ là bốn số thực dương, thoả mãn:

$\left ( x+y+z+t \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \right )=20.$

Chứng minh rằng:

$36\leq \left ( x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2} \right )\left ( \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}+\frac{1}{t^{2}} \right )\leq 580-240\sqrt{5}.$

Lời giải bài 11. (Bài giải bởi bạn Triển - FB : Dinh de Tai)
Từ điều kiện ta có $\sum \dfrac{x+y+z}{t}=16$
Trước hết ta chứng minh:$\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}\right)\ge 36 \ \ \ \ (1)$
Chú ý $4(x^2+y^2+z^2+t^2)=(x+y+z-t)^2+(y+z+t-x)^2+(z+t+x-y)^2+(t+x+y-z)^2\Rightarrow \text{VT(1)}=\dfrac{1}{4}\sum (y+z+t-x)^2.\sum \dfrac{1}{x^2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có $\sum (y+z+t-x)^2.\sum \dfrac{1}{x^2}\geq \left[\sum \dfrac{y+z+t-x}{x}\right]^2=\left[\sum \dfrac{y+z+t+x}{x}-8\right]^2=144$
Suy ra $\text{VT(1)}\geq \dfrac{1}{4}.144=36$
Bây giờ ta sẽ chứng minh: $\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}\right)\le 580-240\sqrt { 5 }$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có $\sqrt{\sum x^2.\sum \dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{2\sum_{sym}xy.2\sum_{sym}\dfrac{1}{xy}}\leq \sqrt{\left(\sum x\right)^2\left(\sum \dfrac{1}{x}\right)^2}=20$
Nên ta chỉ cần chứng minh
$(xy+yz+zt+tx+xz+ty)\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zt}+\dfrac{1}{tx}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{yt}\right)\geq 45$
$\Leftrightarrow 6+\sum_{sym} \dfrac{xy}{zt}+2\sum _{cyc} \dfrac{x+y+z}{t}\geq 45$
$\Leftrightarrow \sum_{sym} \dfrac{xy}{zt}\geq 7\Leftrightarrow \dfrac{(xy)^2+(yz)^2+(zt)^2+(tx)^2+(xz)^2+(ty)^2}{xyzt}\geq 7$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có $(xy)^2+(yz)^2+(zt)^2+(tx)^2+(xz)^2+(ty)^2=x^2(y^2+z^2+t^2)+(yz)^2+(zt)^2+(ty)^2\geq x^2(yz+zt+ty)+yzt(y+z+t)$
Suy ra $\dfrac{(xy)^2+(yz)^2+(zt)^2+(tx)^2+(xz)^2+(ty)^2}{xyzt}\geq \dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{x}{t}+\dfrac{y+z+t}{x}$
Tương tự thì $4\dfrac{(xy)^2+(yz)^2+(zt)^2+(tx)^2+(xz)^2+(ty)^2}{xyzt}\geq \sum x\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t}\right)+16=32$
$\Rightarrow \dfrac{(xy)^2+(yz)^2+(zt)^2+(tx)^2+(xz)^2+(ty)^2}{xyzt}\geq 8>7$
Do đó ta có điều cần chứng minh

 

 @hoanglong2k : Mình không cộng điểm cho Tuấn nhưng sẽ cộng điểm cho Triển 

Lời giải bài 9.
Ta có $\sum_{cyc}\sqrt{\dfrac{a+b}{2c}} \geq \sum_{cyc}\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{c}} \geq \dfrac{1}{2}\sum_{cyc}\sqrt{a}\left (\frac{1}{\sqrt{b}}+\dfrac{1}{\sqrt{c}}\right ) \geq \sum_{cyc}\dfrac{2\sqrt{a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}} \geq \sum_{cyc}\sqrt{\dfrac{2a}{b+c}}$.

Một cách khác cho bài 9 :

$\text{BĐT}\Leftrightarrow \sum \left(\sqrt{\frac{b+c}{a}}-2\sqrt{\frac{a}{b+c}}\right)\ge 0\Leftrightarrow \sum \frac { b+c-2a }{ \sqrt { a(b+c) }  }\ge 0\ \ (*)$

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c$ thì $\begin{cases} b+c-2a\le c+a-2b\le a+b-2c \\ \frac { 1 }{ \sqrt { a(b+c) }  } \le \frac { 1 }{ \sqrt { b(c+a) }  } \le \frac { 1 }{ \sqrt { c(a+b) }  }  \end{cases}$

Đến đây áp dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có $VT(*)\ge (2a+2b+2c-2a-2b-2c)\left( \frac { 1 }{ \sqrt { a(b+c) }  } +\frac { 1 }{ \sqrt { b(c+a) }  } +\frac { 1 }{ \sqrt { c(a+b) }  }  \right) =0$

Vậy ta có điều cần chứng minh

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn: ab + bc + ca = 3
Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{a^2+1}\geq \frac{3}{2}$

$ Không\quad mất\quad tình\quad tổng\quad quát\quad giả\quad sử\quad a\ge b\ge c->ab\ge 1\quad và\quad a+b+c\ge 3;abc\le 1\\ Ta\quad có\quad bổ\quad đề\quad :\quad \frac { 1 }{ { x }^{ 2 }+1 } +\frac { 1 }{ { y }^{ 2 }+1 } \ge \frac { 2 }{ xy+1 } (nếu\quad xy\ge 1)\\ Áp\quad dụng\quad ta\quad có\quad :\quad \frac { 1 }{ { a }^{ 2 }+1 } +\frac { 1 }{ { b }^{ 2 }+1 } \ge \frac { 2 }{ ab+1 } (vì\quad ab\ge 1).\quad Nên\quad ta\quad cần\quad c/m\\ \frac { 2 }{ ab+1 } +\frac { 1 }{ { c }^{ 2 }+1 } \ge \frac { 3 }{ 2 } <=>{ c }^{ 2 }+3-ab\ge 3ab{ c }^{ 2 }\quad hay\quad ta\quad cần\quad c/m\quad :{ c }^{ 2 }+3-ab\ge 3c\\ <=>c(c+a+b-3)\ge 0(đúng)$

 

Bài toán 8. Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh
\[\frac{\sqrt{a+b}}{c}+\frac{\sqrt{b+c}}{a}+\frac{\sqrt{a+c}}{b}\geq 3\sqrt{\frac{2(a+b+c)}{ab+bc+ca}}\]

Lời giải bài 8. Áp dụng AM-GM ta có $\sum \dfrac{\sqrt{a+b}}{c}\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{a^2b^2c^2}}}$
Và $(a+b)(b+c)(c+a)\geq \dfrac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$
Ta sẽ chứng minh $\sqrt[3]{\sqrt{\dfrac{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9a^2b^2c^2}}}\geq \sqrt{\dfrac{2(a+b+c)}{ab+bc+ca}}$ (*)
Đặt $a+b+c=p; ab+bc+ca=q ; abc=r$ Thì (*)$\Leftrightarrow q^2\geq 3pr$ đúng
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

 

Bài toán 9. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng
\[\sqrt{\dfrac{a+b}{c}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}+\sqrt{\dfrac{c+a}{b}}\geq 2\left(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\right) \]