Thislife

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                             ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT

       TUYÊN QUANG                                                                                                   NĂM HỌC 2016-2017

     ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                                                       Môn thi : TOÁN

                                                                                                                                                     Thời gian:180 phút (không kể thời gian giao đề)

                                                                                                                                                                           (Đề này có 1 trang) -5\3\2017

 

Bài 1:

a,Giải phương trình: $\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{tanx+cot2x}} =\sqrt{2} +2sin2x$

b,Giải hệ phương trình: $\begin{cases} 2x+\frac{1}{x}+y+\frac{2}{y} =6 \\ (x^{2}+y^{2})\left(1+\frac{1}{xy}\right)^{2}=8 \end{cases}$ $(x,y \in \mathbb{R})$ 

Bài 2:

a, Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại hai điểm $A,B$. Tiếp tuyến chung gần B của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc với $(O)$ và $(O')$ tại $C$ và $D$. Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $CD$ cắt $(O)$ và $(O')$ lần lượt tại $M$ và $N$(khác điểm $A$). Các đường thẳng $CM$,$DN$ cắt nhau tại $E$. CMR: đường thẳng $AE$ và $CD$ vuông góc với nhau.

b,Cho tam giác cân $ABC$ có $AB=AC $.Đường tròn $(C)$ tiếp xúc các cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $P$ và $K$ đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $J$.CMR : trung điểm của $PK$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Bài 3:Cho dãy số $(U_{n})$ xác định bởi :$\begin{cases} U_{1}=2\\U_{n+1}=\frac{U_{n}^{2017}+U_{n}+1}{U_{n}^{2016}-U_{n}+3}\end{cases}$ $(n \in \mathbb{N}^{*})$

Chứng minh $U_{n}>1$,$\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ và$ (U_{n})$ là dãy số tăng .

Bài 4: Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{21}$ trong khai triển nhị thức $Newton$ của$\left(x^{2} + \frac{2}{x}\right)^{n}. $.Biết $n$ là nghiệm của phương trình:$C_{30}^{0}+C_{30}^{0}+...+C_{30}^{30}=2^{2n}$

Đề bài: Cho $a,b,c$  là $3$ cạnh của $1$ tam giác .CMR:

$(\frac{b}{c} +\frac{c}{b} -1)x^{2} +(\frac{c}{a} +\frac{a}{c}-1)y^{2} +(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-1)z^{2} \geqslant (3-\frac{b+c}{a})yz + ( 3-\frac{a+c}{b})xz + (3-\frac{a+b}{c})xy$ , ($x,y,z $ tùy ý ).

Đề bài :Cho tam giác ABC nhọn.CMR:

a,$\sqrt{tanA}+\sqrt{tanB}+\sqrt{tanC} \geqslant \sqrt{cot\frac{A}{2}} + \sqrt{cot\frac{B}{2}} +\sqrt{cot\frac{C}{2}}$

b,$\sqrt[3]{tanA} +\sqrt[3]{tanB} +\sqrt[3]{tanC} \geqslant \sqrt[3]{cot\frac{A}{2}} +\sqrt[3]{cot \frac{B}{2}}+\sqrt[3]{cot\frac{C}{2}}$

Các số tự nhiên được gọi là số đẹp nếu số đó là hợp số và không chia hết cho $2,3,5$.Hỏi có bao nhiêu số đẹp $<1000$.

Bài toán : Cho các số thực  a,b,c thỏa mãn a+b+c=3 và $a^2+b^2+c^2=3+6t^2$ với $t\geqslant 0$ .Chứng minh rằng :

$(1-2t)(1+t^2) \leqslant abc \leqslant (1+2t)(1-t)^2$