kienvuhoang

Tìm số cách chia n kẹo cho k người sao cho số kẹo của k người đôi một khác nhau.

P/s: Đây là bài mở rộng từ chia kẹo euler nhưng em vẫn chưa nghĩ ra, mong mọi người giúp đỡ

Bạn đã tìm x,y cụ thể và thay vào điều kiện chưa?

Với tổng và tích như thế thì bạn có pt bậc 2 2 nghiệm dương phân biệt(dễ dàng chứng minh)

Bài 1: Không mất tính tổng quát giả sử $a>b>c$

Ta có: $a^2+b^2+c^2$$=\frac{(a+b+c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{3}$

                                    $\geq \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{3}$

Đặt $x=a-b$,$y=b-c$ .Ta có:

$VT $$\geq \frac{1}{3}(x^2+y^2+(x+y)^2)$$(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x+y)^2})$

        $\geq \frac{1}{3}(\frac{(x+y)^2}{2}+(x+y)^2)$$(\frac{8}{(x+y)^2}+\frac{1}{(x+y)^2})=\frac{9}{2}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow$$ b=a+c=0$ 

Mình nghĩ nếu đổi thành $\frac{2^{p-1}-1}{p}$ thì bài toán sẽ hay và khó hơn

Em nghĩ thảo luận về c++ hợp lý hơn

Giả sử $x \geqslant y \geqslant z$ và đặt $t=\frac{y+z}2$ thì $x\geqslant t \geqslant 1.$ Xét $f(x,y,z)$ là hiệu của vế phải và vế trái, từ bổ đề

\[(y^2+1)(z^2+1) \leqslant \left[1+\left(\frac{y+z}{2}\right)^2 \right]^2,\]

ta chứng minh được $f(x,y,z) \geqslant f(x,t,t).$

 

Bây giờ ta sẽ chứng minh $f(x,t,t) \geqslant 0,$ bất đẳng thức này tương đương với

\[1+{{\left( \frac{x+2t}{3} \right)}^{2}}-\sqrt[3]{({{x}^{2}}+1){{({{y}^{2}}+1)}^{2}}}\ge 0,\]

hay là

$${{\left[ {{(x+2t)}^{2}}+9 \right]}^{3}}-729({{x}^{2}}+1){{({{t}^{2}}+1)}^{2}}\ge 0,$$

hoặc

\[\underbrace{\big[{{x}^{4}}+14{{x}^{3}}t+(87{{t}^{2}}+27){{x}^{2}}+(320{{t}^{3}}+270t)x+64{{t}^{4}}-297{{t}^{2}}-486\big]}_{P}(x-t)^2 \geqslant 0.\]

Chú ý rằng

\[\begin{aligned}P=&\left[320t^3+(87x+87)t^2+(14x^2+14x)t+x^3+x^2+28x+312\right] (x-1)\\&+(64t^3+384t^2+174t+284x+174)(t-1) \geqslant 0.\end{aligned}\]

Nên ta có điều phải chứng minh.

Chỗ y đấy phải là t chứ ạ.

Em đóng góp thế thôi,chứ cách giải của anh cũng rất hay.

 

 

 

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=1$

 

P/s không biết VMFer nào thi KHTN ko nhỉ ?

mình thi bạn ơi=)))

$\boxed{\text{Bài 1}}$ Tìm tất cả các số tự nhiên x, y thoả mãn $85^x-y^4=4$

 

 Nếu x=0 suy ra loại

Nếu$x\geq 1$ ta có: $85^x=(y^2-2y+2)(y^2+2y+2)$(1)

Dễ thấy y lẻ khác 1 nên$(y^2-2y+2,y^2+2y+2)=1$

Mày^2+2y+2>y^2-2y+2>1

$\Rightarrow y^2-2y+2=5^x;y^2+2y+2=17^x$

Mà $y^2+2y+2<6(y^2-2y+2)

\Rightarrow 17^x<6.5^x\Rightarrow x=1$

$y=3$

Ta có:$3abc=a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$

$\Rightarrow abc\geq 1$

$\Rightarrow a+b+c\geq \3\sqrt[3]{abc}\geq 3$

Đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

Giải hệ phương trình:$\begin{cases}3x^2y^2-xy^2-xy=2\\x^2y^2+xy^2+xy-y^2-2y=2\end{cases}$

My solution.

 

Từ giả thiết ta có $4c^{2}=(a+c)(b+c)$

Đặt $(a+c;b+c)=d$ suy ra $d\mid a-b$ mà $a-b$ là số nguyên tố cho nên xảy ra 2TH.

 

TH1. $d=1$

Khi đó $a+c=x^{2}$ và $b+c=y^{2}$

$\Rightarrow x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)=a-b$ là số nguyên tố.

$\Rightarrow x-y=1$

$\Rightarrow 4c^{2}=(a+c)(b+c) = x^{2}.y^{2}= y^{2}(y+1)^{2}$

$\Rightarrow 2c= y(y+1)$

$\Rightarrow 8c+1= (2y+1)^{2}$ 

 

TH2. $d=a-b$

Từ đó ta có $a-b \mid a+c$ ,$a-b\mid b+c$

Đặt $a+c=k(a-b)$ và $b+c=h(a-b)$    $(k,h \in \mathbb{N})$

Suy ra $a+c-b-c=a-b=(k-h)(a-b)$

           $\Rightarrow k-h=1$ $(a \not{=} b)$

Suy ra $4c^{2}=(a+c)(b+c) = (a-b)^{2}kh= (a-b)^{2}k(k-1)$

           $\Rightarrow k(k-1)$ là số chính phương. 

Dễ dàng có được $k=0$ hoặc $k=1$

Nếu $k=0$ thì $c=0$ vô lí.

Nếu $k=1$ thì $c=0$ vô lí.

 

Vậy chỉ có TH1 đúng hay $8c+1= (2y+1)^{2}$ là số chính phương.

Cách này có vẻ dài và phức tạp

Tôi xin đóng góp My Solution luôn:

GT$\Rightarrow (a+b-2c)(a+b+6c)=(a-b)^2$

Vì a+b-2c<a+b+6c>0 và a-b là số nguyên tố

$\Rightarrow a+b-2c=1;a+b+6c=(a-b)^2$

$\Rightarrow 8c+1=(a-b)^2$

Cho $a;b;c\in \mathbb{N}*$thỏa mãn $a-b$ là số nguyên tố và $3c^2=(a+b)c+ab$

Chứng minh rằng:$8c+1$ là số chính phương 

Tìm số nguyên tố p để $\frac{3^{p-1}-1}{p}$ là số chính phương

Tài Liệu Tổ hợp: Lời giải 108 Bài Toán tổ hợp của Nhóm Sigma Math 

Nguồn: Nguyễn Minh Đức - THCS Nguyễn Cao - Hà Nội

Trường Nguyễn Cao ở Thành phố Bắc Ninh bạn nhé )

Mà bạn Đức ấy chuyển  đến  trường Nhân Chính-Hà Nội rồi:)))