Đến nội dung


Zz Isaac Newton Zz

Đăng ký: 27-06-2016
Offline Đăng nhập: 22-08-2021 - 18:31
****-

#723726 Ta chứng minh $\det(W)=(a_{1}+a_{2}+\ldots...

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 13-07-2019 - 16:29

Cho $W$ là ma trận có được từ ma trận $V= V_{n}\left ( a_{1}, a_{2}\ldots a_{n} \right ),$ bằng cách thay hàng $\left ( a_{1}^{n- 1}, a_{2}^{n- 1}\ldots a_{n}^{n- 1} \right )$ bởi hàng $\left ( a_{1}^{n}, a_{2}^{n}\ldots a_{n}^{n} \right ).$ Chứng minh rằng $\det\left ( W \right )= \left ( a_{1}+ a_{2}+ \ldots+ a_{n} \right )\det\left ( V \right ),$ trong đó $V$ là ma trận Vandermonde.




#720629 $f(x+yf(x))+f(xy)=f(x)+f(2019y)$

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 04-03-2019 - 00:19

Nguồn: RMM 2019 P5. Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f\left ( x+yf\left ( x \right ) \right )+f\left ( xy \right )=f\left ( x \right )+f\left ( 2019y \right ),\forall x, y\in \mathbb{R}.$




#718631 Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $x, y$ thỏa mãn: $...

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 23-12-2018 - 15:35

Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $x, y$ thỏa mãn: $x^{2}+y^{2}+1$ chia hết cho $59^{2019}.$




#715645 Chứng minh rằng đa thức $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ không thể phân tích đ...

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 16-09-2018 - 23:39

Cho số nguyên tố có 4 chữ số $p=\overline{abcd}$. Chứng minh rằng đa thức $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ không thể phân tích được thành tích của hai đa thức có bậc lớn hơn 0 với hệ số nguyên.

Bài toán là trường hợp riêng của tiêu chuẩn $Cohn$ trong đa thức bất khả quy sau đây:

Cho $p$ là số nguyên tố. Giả sử $p$ được viết dưới dạng hệ cơ số $b\geq 2$ như sau: $p=a_{n}.b^{n}+a_{n-1}.b^{n-1}+...+a_{1}.b+a_{0},$ với $0\leq a_{i}\leq b-1,i=\overline{0,n}.$ Khi đó đa thức: $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}\left [ x \right ].$




#715423 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN MÔN TOÁN NĂM HỌC 2018 - 2019 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ...

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 11-09-2018 - 17:52

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN MÔN TOÁN NĂM HỌC 2018 - 2019 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI.

Ngày thi thứ hai: 11 - 9 - 2018

Câu 1: Cho $n$ là số nguyên lớn hơn $1$ và $\left ( x_{1},x_{2},...,x_{n} \right )$ là một hoán vị của tập hợp $\left \{ 1,2,...,n \right \}$ (tập hợp gồm $n$ số nguyên dương đầu tiên). Chứng minh rằng: $\sum_{k=1}^{n}kx_{k}\left ( k+x_{k} \right )\leq \frac{n^{2}\left ( n+1 \right )^{2}}{2}.$

Câu 2: Cho các số nguyên $m,n$ lớn hơn $1$ thỏa mãn trong $n$ số $x^{2}-x$ với $x=\overline{1,n}$ không có hai số nào có cùng số dư khi chia cho $m.$ Chứng minh rằng:

(a) $m\geq 2n-1.$

(b) $m=2n-1$ khi và chỉ khi $m$ là số nguyên tố lẻ.

Câu 3: Với mỗi số nguyên $n> 1,$ ta gọi một hoán vị $\left ( a_{1},a_{2},...,a_{n} \right )$ của tập hợp $\left \{ 1,2,...,n \right \}$ (tập hợp gồm $n$ số nguyên dương đầu tiên) là tốt nếu: $\left | a_{1}-1 \right |=\left | a_{2}-2 \right |=...=\left | a_{n}-n \right |\neq 0.$

Chứng minh rằng:

(a) Không tồn tại hoán vị tốt nếu $n$ lẻ.

(b) Nếu $n$ chẵn thì số hoán vị tốt bằng số các ước dương của $\frac{n}{2}.$

Câu 4: Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $\left ( O \right ).$ $P,Q$ theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OAB,OAC.$ $R$ là điểm đối xứng của $O$ qua $BC.$ Gọi $X$ là giao điểm của $RB$ và $CP,$ $Y$ là giao điểm của $RC$ và $BQ.$ Chứng minh rằng: $\widehat{BAX}=\widehat{YAC}.$




#715389 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN MÔN TOÁN NĂM HỌC 2018 - 2019 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ...

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 10-09-2018 - 20:24

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN MÔN TOÁN NĂM HỌC 2018 - 2019 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI.

Ngày thi thứ nhất: 10 - 9 - 2018

Câu 1: Cho tam thức bậc hai $f(x)=x^{2}+ax+b$ với $a,b\in \mathbb{R}.$ Biết rằng tồn tại duy nhất số thực $x_{0}$ sao cho $f\left ( \left ( x_{0} \right ) \right )=0.$ Chứng minh rằng $a,b$ là các số không âm.

Câu 2: Cho ba số dương $a_{1},b_{1},c_{1}$ thỏa $a_{1}+b_{1}+c_{1}=1$ và các dãy số $\left ( a_{n} \right ),\left ( b_{n} \right ),\left ( c_{n} \right )$ thỏa mãn: $a_{n+1}=a_{n}^{2}+2b_{n}c_{n}, b_{n+1}=b_{n}^{2}+2a_{n}c_{n}, c_{n+1}=c_{n}^{2}+2a_{n}b_{n},\forall n\in \mathbb{N}^{*}.$

Xét dãy $\left ( x_{n} \right )$ xác định bởi $x_{n}=a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}^{2},\forall n\in \mathbb{Z}^{+}.$ Chứng minh:

(a) $x_{n+1}=\frac{2x_{n}^{2}+\left ( x_{n}-1 \right )^{2}}{2},\forall n\in \mathbb{N}^{*}.$

(b) $\left ( x_{n} \right )$ có giới hạn hữu hạn khi $n\rightarrow +\infty$ và tìm giới hạn đó.

Câu 3: Ghi lên bảng $2018$ số nguyên dương đầu tiên $1,2,3,...,2018.$ Thực hiện thuật toán sau: mỗi lần cho phép xóa đi hai số $a,b$ mà không có số nào là bội của số kia và thay thế chúng bởi hai số là ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất của $a,b.$ Hỏi rằng ta có thể thực hiện thuật toán trên vô hạn lần không? Tại sao?

Câu 4: Cho tam giác $ABC$ không cân nội tiếp đường tròn $\left ( O \right ),I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi $E$ là giao điểm của $BI$ và $AC,$ $F$ là giao điểm của $CI$ và $AB,$ $M,N$ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của $BI,CI$ và đường tròn $\left ( O \right ).$ Đường thẳng $BI$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BNF$ tại điểm thứ hai $P.$ Đường thẳng $CI$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $CME$ tại điểm thứ hai $Q.$

(a) Chứng minh rằng tứ giác $EFPQ$ nội tiếp một đường tròn.

(b) Qua $I$ kẻ đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $BC.$ Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $EFPQ$ nằm trên $\Delta .$




#715339 Cho $2017$ điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Tìm...

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 09-09-2018 - 16:14

Cho $2017$ điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Mỗi đoạn nối hai điểm ta viết một số nguyên dương bất kì không vượt quá $k$ sao cho ba điểm bất kì tạo thành tam giác mà các số trên cạnh tam giác có dạng $x,x,y$ với $x< y.$ Tìm $k$ nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên.




#715297 Chứng minh rằng với mọi cách lấy $n$ phần tử của $S$ bao...

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 07-09-2018 - 22:14

Cho $n\geq 6$ và tập hợp $S=\left \{ 1,2,...,2n \right \}.$ Chứng minh rằng với mọi cách lấy $n$ phần tử của $S$ bao giờ cũng tìm được hai phần tử có bội chung nhỏ nhất không vượt quá $3n+6.$




#715256 Cho $n$ là số nguyên dương, xét tập hợp $S=\left \...

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 06-09-2018 - 20:07

Cho $n$ là số nguyên dương, xét tập hợp $S=\left \{ 1,2...,4n^{2} \right \}.$ Phân hoạch tập $S$ thành $2n^{2}$ nhóm $\left \{ a,b \right \}$ sao cho: $\left | a-b \right |\in \left \{ 1,2n \right \}.$ Với mỗi cách phân hoạch trên ta xét tổng các tích $ab.$ Hãy tìm phân hoạch có tổng trên lớn nhất.




#715205 $f(x^{2}+y^{2}+2f(xy))=(f(x+y))^{2}$

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 05-09-2018 - 15:36

Tìm tất cả các hàm $f:R \rightarrow R$ thỏa mãn:
$f(x^{2}+y^{2}+2f(xy))=(f(x+y))^{2}.$

Ta viết lại đẳng thức dưới dạng: $f\left ( \left ( x+y \right )^{2}+2f(xy)-2xy \right )=f^{2}\left ( x+y \right ),\forall x,y\in \mathbb{R}$ (1)

Đặt: $x+y=a,xy=b$ và $g\left ( x \right )=2\left ( f(x)-x \right )$ khi đó (1) viết lại dưới dạng: 

$f\left ( a^{2}+g(b) \right )=f^{2}\left ( a \right )$ với mọi $b=xy\leq \frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}=\frac{a^{2}}{4}.$

Đặt: $M=\left \{ g(b)\mid b\in \mathbb{R} \right \}$ và $T=\left \{ g(b_{1})-g(b_{2})\mid b_{1},b_{2}\in \mathbb{R} \right \}$

Với mọi $x$ đủ lớn thì $f$ tuần hoàn theo chu kì $t\in T.$

Ta có: $g\left ( \left ( x^{2}+a_{1} \right )^{2}+a_{2} \right )-g\left ( \left ( x^{2}+a_{2} \right )^{2}+a_{2} \right )=2\left [ f\left ( \left ( x^{2}+a_{_{1}} \right )^{2}+a_{2} \right )-\left ( \left ( x^{2}+a_{1} \right )^{2}+a_{_{2}} \right ) \right ]-2\left [ f\left ( \left ( x^{2}+a_{2} \right )^{2}+a_{2} \right )-\left ( \left ( x^{2}+a_{2} \right )^{2}+a_{2} \right ) \right ]=2\left [ f^{4}(x)-f^{4}(x)+2(a_{2}-a_{_{1}})x^{2}+a_{2}^{2}-a_{1}^{2} \right ]=4(a_{2}-a_{1})x^{2}+2\left ( a_{2}^{2}-a_{1}^{2} \right )\in T$

Giả sử tồn tại hai số $a_{1},a_{2}$ sao cho $a_{1}< a_{2}.$ Suy ra trong $T$ chứa một đoạn liên tục trên $\mathbb{R}$ và với mọi số $x$ đủ lớn thì $f$ tuần hoàn theo chu kì bất kì trong đoạn này.

Từ đây ta có $f$ là hàm hằng với mọi $x\geq x_{1},$ hay $f(x)=c,\forall x\geq x_{1},c=const.$

Ta chọn một số $a$ đủ lớn để $a\geq x_{1},x^{2}+a\geq x_{1}$ thì ta suy ra: $c^{2}=c\Rightarrow c=\left \{ 0,1 \right \}.$ Tới đây ta đi xét hai trường hợp.

Trường hợp 1: nếu $c=0$ thì $f\left ( y^{2}+g(x) \right )=f^{2}(y)=f^{2}(-y),$ do đó với mọi $y\leq -x_{1}$ hoặc $y\geq x_{1}$ thì $f(y)=0.$

Suy ra: với mọi $y\leq -x_{1}$ thì $g(y)=-2y.$ Với mọi $x\in \mathbb{R}$ tồn tại $y\leq -x_{1}$ để $x^{2}-2y>x_{1}.$ Từ đó $f^{2}(x)=f(x^{2}-2y)=0\Rightarrow f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R}.$

Trường hợp 2: nếu $c=1$ thì với mọi $y\leq -x_{1}$ ta có: $f(y)=\pm 1,g(y)=\pm 2-2y,$ suy ra: $\forall x\in \mathbb{R},\exists y\leq -x_{1}$ sao cho: $x^{2}\pm 2-2y>x_{1}$ và $f^{2}(x)=f\left ( x^{2}\pm 2-2y \right )=1\Rightarrow f(x)=\pm 1,\forall x\in \mathbb{R}.$

Trong trường hợp $f$ không đồng nhất với $1$ thì $\exists x_{0}:f(x_{0})=-1.$

Suy ra: $x_{0}\neq x^{2}+g(y),y\leq \frac{x^{2}}{4}.$

Xét $y\leq 0,x\in \mathbb{R}$ thì $x_{0}< g(y),\forall y\leq 0.$

Mặt khác $g(0)\leq 2$ nên $x_{0}<2.$ Suy ra: $f(x)=1,\forall x\geq 2$ và $g(x)=2-2x,\forall x\geq 2.$

*Giả sử $x_{0}\geq 0$ khi đó $g(x_{0})=-2-2x_{0}$ và với mọi $x_{0}\leq \frac{a^{2}}{4}$ thì $f(a^{2}-2-2x_{0})=f^{2}(a)\geq 0\Rightarrow f(m)=1,\forall m\geq 2x_{0}-2$

Từ đây ta suy ra: $2x_{0}-2>x_{0}\Leftrightarrow x_{0}>2,$ mâu thuẫn nên do đó ta phải có: $x_{0}<0.$

*Với $g(x_{_{0}})=-2-2x_{_{0}}$ và $f(a^{2}-2-2x_{0})=f^{2}(a)\geq 0,$ suy ra: $f(m)=1,\forall m\geq -2-2x_{0}\Rightarrow -2-2x_{0}> x_{0}\Leftrightarrow x_{0}<\frac{-2}{3}.$ Do đó: $f(x)=1,\forall x\geq \frac{-2}{3}.$ Ta sẽ chứng minh rằng $x^{2}+g(y),$ với $x^{2}\geq 4y$ sẽ không thể nhận giá trị bé hơn $\frac{-2}{3}.$

*Nếu $y< \frac{-2}{3}$ thì $g(y)=\pm 2-2y$ và $x^{2}+g(y)\geq -2-2y\geq \frac{-2}{3}.$

*Nếu $y\geq \frac{-2}{3}$ thì $g(y)=2-2y$ thì có hai khả năng:

+ Nếu $y\leq 0$ thì $x^{2}+g(y)=x^{2}+2-2y>0.$

+ Nếu $y>0$ thì $x^{2}+g(y)\geq 4y+2-2y=2+2y>0.$

Từ đây ta có kết luận về họ hàm thỏa mãn đề bài là: $f(x)=\left\{\begin{matrix} 1 & \forall x\geq \frac{-2}{3} & \\ -1 & \forall x< \frac{-2}{3} & \end{matrix}\right.$

Vậy tất cả các hàm $f$ thỏa đề bài là: $f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R},$ $f(x)=1,\forall x\in \mathbb{R},$ $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R},$ $f(x)=\left\{\begin{matrix} 1 & \forall x\geq \frac{-2}{3} & \\ -1 & \forall x< \frac{-2}{3} & \end{matrix}\right.$




#715181 Chứng minh rằng $k\geqslant n.$

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 04-09-2018 - 17:59

Cho số nguyên dương $n>1.$ Biết rằng tồn tại các số nguyên dương $n_{1},n_{2},...,n_{k}$ sao cho $\sum_{m=1}^{k}2^{n_{m}}$ chia hết cho $2^{n}-1.$ Chứng minh rằng $k\geqslant n.$




#714360 CMR tồn tại vô số số nguyên tố $p$ sao cho với mỗi $p$ sẽ...

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 14-08-2018 - 15:49

Cho $P(x)$ là đa thức hệ số nguyên bất khả quy trên $\mathbb{Q}\left [ x \right ]$ có bậc dương, chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên tố $p$ sao cho với mỗi $p$ như thế sẽ tồn tại $n\in \mathbb{Z}^{+}$ thỏa mãn: $v_{p}\left ( P(n) \right )=1.$




#713109 Cho đa thức $P\left ( x \right )\in \mathbb{Z...

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 23-07-2018 - 21:55

Cho đa thức $P\left ( x \right )\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$ thỏa mãn: $\left | P\left ( x \right ) \right |<1,\forall x\in \left [ a,a+4 \right ],a\in \mathbb{R}$ cho trước. Chứng minh rằng: $P\left ( x \right )\equiv 0.$




#711501 Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $N$ sao cho với mọi số...

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 24-06-2018 - 16:56

Cho hàm số $f:\mathbb{N}^{*}\rightarrow \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn điều kiện:

i. Với mọi $m,n\in \mathbb{N}^{*}$ ta có $f(m)+f(n)>mn.$

ii. Với mọi $m,n\in \mathbb{N}^{*}$ thì  $f(m)+f(n)-mn$ là một ước của $mf(m)+nf(n).$

Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $N$ sao cho với mọi số nguyên tố $p>N$ thì $f(p)=p^{2}.$




#711500 Chứng minh rằng số $A=\sum_{k=1}^{\frac{p-...

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 24-06-2018 - 16:39

Cho số nguyên tố $p$ lẻ và $p\equiv 1\left ( mod 4 \right ).$ Chứng minh rằng số $A=\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}k.\binom{p}{k}$ là bội của $p^{2}.$