Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$x^{p}+y^{p}=p[(p-1)!]^{p}$
Với $p$ nguyên tố lẻ
Ta sẽ chứng minh phương trình này vô nghiệm.
Giả sử tồn tại $x, y$ thỏa mãn đề bài. Mà do $(p-1)!$ $\not \vdots$ $p$ nên $\left [ (p-1)! \right ]^{p}$ $\not \vdots$ $p.$ Từ đó suy ra: $p.\left [ (p-1)! \right ]^{p}$ $\not \vdots$ $p^{2}$
*Nếu $x$ $\vdots$ $p$ thì do $x^{p}+y^{p}$ $\vdots$ $p$ nên dẫn đến $y$ $\vdots$ $p.$ Vì $p$ là số nguyên tố lẻ nên phải có: $x^{p}$ $\vdots$ $p^{2}$ và $y^{p}$ $\vdots$ $p^{2},$ từ đó suy ra: $\left ( x^{p}+y^{p} \right )$ $\vdots$ $p^{2}.$ Điều này mâu thuẫn do vế phải không chia hết cho $p^{2}.$
*Nếu $x$ $\not \vdots$ $p$ thì từ điều kiện đề bài suy ra $y$ $\not \vdots$ $p.$ Mà theo định lý $Fermat$ nhỏ thì ta có: $x^{p}+y^{p}\equiv x+y$ $($$mod$ $p$$)$ $\Rightarrow$ $x+y\equiv 0$ $($$mod$ $p$$).$
Do đó theo định lý $LTE$ thì ta có: $v_{p}\left ( x^{p}+y^{p} \right )=v_{p}\left ( x+y \right )+v_{p}\left ( p \right )\geq 1+1=2$ $\Rightarrow$ $\left ( x^{p}+y^{p} \right )$ $\vdots$ $p^{2}.$ Điều này mâu thuẫn do vế phải không chia hết cho $p^{2}.$
Vậy suy ra không tồn tại $x, y$ thỏa mãn đề bài hay phương trình ban đầu vô nghiệm.
- NHoang1608 và Minhnksc thích