quochungtran

Câu 6)

         Giả sử tồn tại cấp số cộng vô hạn (a_n)  thỏa mãn a_n + a_n+1 + ...+ a_n+9 |  a_na_n+1...a_n+9  (*) với mọi n $\epsilon$ N*. 

 a₁ = a.   a_n+1 = a_n + d (d $\neq$ 0 ) d xác định

Suy ra    a_n+2 = a_n + 2d

               ...

              a_n+9  = a_n + 9d

                (*) tương đương 10a_n + 45d | a_n(a_n + d)( a_n + 2d)...( a_n + 9d).

<=>                                     10a_n + 45d | 10a_n 10(a_n + d)  10( a_n + 2d) ... 10( a_n + 9d).

<=>                                     10a_n + 45d | 10a_n (10a_n + 10d) ( 10a_n + 20d)... ( 10a_n + 90d).

lại có     10a_n + kd $\equiv$  (k-45)d (mod 10a_n + 45d) ,  k=0,10,..., 90.

suy ra   10a_n (10a_n + 10d) ( 10a_n + 20d)... ( 10a_n + 90d)  $\equiv$  $\prod$ (k-45) d¹⁰ ( mod 10a_n + 45d).    vs k=0,10,..., 90.

       <=>    | $\prod$ (k-45) d¹⁰  |  $\equiv$ 0 ( mod |10a_n + 45d |). vs k=0,10,..., 90.

vì  dãy (a_n) tăng hoặc giảm và có vô hạn số nên tồn tại n₀  đủ lớn sao cho |10a_no + 45|  >    | $\prod$ (k-45) d¹⁰ |  vs k=0,10,..., 90.

suy ra |10a_n + 45|  không là ước của  | $\prod$ (k-45) d¹⁰ | ( mâu thuẫn ) 

Vậy không tồn tại cấp số cộng  (a_n)  thỏa mãn

Đây là lời giải bài 30*)

Chọn các số a,b,c dương và a+b+c = 3, theo bất đẳng thức Holder

(x⁴ + 2y⁴ + 3z⁴)(a⁴ + 2b⁴ + 3c⁴)³ $\geq$ (a³x + 2b³y + 3c³z)⁴.

Chọn a,b,c sao cho a³ = 2b³ = 3c³  = k³. khi đó :

x⁴ + 2y⁴ + 3z⁴ $\geq$ $\frac{k^{12}(x+y+z)^{4}}{a^{4}+2b^{4}+3c^{4}} $ = $\frac{(3k^{3})^{4}}{(a^{4}+2b^{4}+3c^{4})^{3}}$

xét điều kiện đẳng thức thì

                                        $\frac{x}{a}$ =  $\frac{y}{b}$ =  $\frac{z}{c}$ = $\frac{x+y+z}{a+b+c}$ = 1

              Vậy ta có a+b+c = 3 , a³ = 2b³ = 3c³  = k³  => x=a=k, y=b=$\sqrt[3]{2}$ k , z=c= $\sqrt[3]{3}$ k , vs k= $\frac{3}{1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}}$

Ps: mình thấy lời giải NTA 1907 chưa chặc chẽ lắm

cho mình đề nghị 1 bài

Bài 29)     Giả sử x,y,z  $\geq$ 0 và x+y+z = 3 . hãy tìm GTNN của x⁴ + 2y⁴ + 3z⁴.

.

Bài 27  :                 Bài này có thể dùng kỹ thuật SOS.

    BĐT tương đương x³ + y³ + z³ - 3xyz    $\geq$   x²(y+z) + y²(x+z) + z²(x+y) - 6xyz                     

 hay ( x+ y +z)( (x-y)² + (y-z)² + (x-z)² )   $\geq$   2 ( (x+y)(y+z)(x+z) - 8xyz )= 2 (  x(y-z)² + y(x-z)² + z(x-y)² )

  $\sum$  (x-y)² (x+y-z)   $\geq$   0.   Đặt S_x  = y + z -x . S_y = x+z - y . S_z = x + y - z. không mất tính tông quát giả sử          x $\geq$ y  $\geq$ z.

 Nên  S_y   > 0, ta có ( x- z)²   $\geq $ ( x - y)² + ( y -  z)² <=> (x-y)(y-z) $\geq$ 0.(đúng)

Vì vậy ta có Sx (y-z)²  +  S_y(x-z)²   + S_z (y-x)²  $\geq$ (y-x)² ( S_{z  +}  S_y ) + (y-z)² ( S_y + S_x ) $\geq$  0 (*)

 mà  S_{z  +}  S_y  = 2x >0  ,   S_y + Sx   =  2z > 0    suy ra (*)   đúng , suy ra dpcm.      

         Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z                                       

coi thử đúng không trí