lãng tử

Một số bài ứng dụng cho kĩ thuật chọn điểm rơi:
16) Cho $a,b,c>0;\sum a \geq 6$ Tìm min: $S= \sum \sqrt{a^2+ \dfrac{1}{b+c}}$
17) Cho $a,b,c>0;\sum \sqrt{a} \geq 3 \sqrt{2}$
CMR: $S= \sum \sqrt[3]{a^2+ \dfrac{1}{b^2}} \geq 3 \sqrt[3]{\dfrac{17}{4}}$
18) Cho $a,b,c>0;\sum a+ \sqrt{2abc} \geq 10$
CMR: $S= \sum \sqrt{\dfrac{8}{a^2}+ \dfrac{9b^2}{2}+ \dfrac{c^2a^2}{4}} \geq 6 \sqrt{6}$
19) Cho $a,b,c>0;\sum a(1+ \sqrt{\dfrac{a}{2}}) \geq 12$
CMR: $S= \sum \sqrt{\dfrac{16}{a^2}+ \dfrac{5b^2}{4}+ \dfrac{c}{2}+ \dfrac{19a^3}{8}} \geq 3 \sqrt{29}$

p/s: Hôm trước ko nhìn, hôm nay thấy hóa ra anh lớp 10 , em mới lớp 8 thôi
Em thấy những bài đấy cũng không quá cao, THCS vẫn có thể giải được mà

Thêm vài bài nữa:
6)Tìm min: $M= \dfrac{ab^2+bc^2+ca^2}{(ab+bc+ca)^2}$
7)Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=6$. Tìm min: $S= \sum \sqrt{a^2+ \dfrac{1}{b+c}}$
8)Cho các số thực ko âm $a,b,c$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=3$
Tìm max:$ \sum \dfrac{a}{a^2+2b+3}$
9)Cho các số thực dương a,b,c thỏa: $a+b+c+abc=4$
CMR: $\sum \dfrac{a}{\sqrt{b+c}} \geq \dfrac{a+b+c}{\sqrt{2}}$
10)Cho các số thực dương a,b,c thỏa $abc=2$.
CMR: $a^3+b^3+c^3 \geq a \sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}$

- Tiếp theo là một kĩ thuật cũng rất quan trọng trong việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là kĩ thuật chọn điểm rơi trong Cauchy- Schwarz (trích quyển 'Sai lầm...' của thầy Phương)
Bài toán: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a+b+c \geq 6$. Tìm min:
$S= \sum \sqrt{a^2+ \dfrac{1}{b^2}}$
-Sai lầm thường gặp:
$S \geq 3 \sqrt[6]{\prod (a^2+\dfrac{1}{b^2})} \geq 3. \sqrt[6]{8}=3 \sqrt{2}$
-Nguyên nhân:
$Min S=3 \sqrt{2} \Leftrightarrow a=b=c= \dfrac{1}{a}= \dfrac{1}{b}= \dfrac{1}{c}=1 \Rightarrow a+b+c=3<6$ (vô lí)
-Phân tích:
Ta có thể sử dụng bđt Cauchy-Schwarz cho 2 số:
$\sqrt{(a_{1}^2+a_{2}^2)(b_{1}^2+b_{2}^2)} \geq a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$
để phá bỏ dấu căn thức
Do đó ta sẽ phải tìm $\alpha$ và $\beta$ sao cho:
$a^2+ \dfrac{1}{b^2} = \dfrac{1}{\sqrt{\alpha^2+ \beta^2}} \sqrt{(a^2+ \dfrac{1}{b^2})(\alpha^2+ \beta^2)} \geq \dfrac{1}{\sqrt{\alpha^2+ \beta^2}}(a \alpha+ \dfrac{\beta}{b}) (1)$
$b^2+ \dfrac{1}{c^2} = \dfrac{1}{\sqrt{\alpha^2+ \beta^2}} \sqrt{(b^2+ \dfrac{1}{c^2})(\alpha^2+ \beta^2)} \geq \dfrac{1}{\sqrt{\alpha^2+ \beta^2}}(b \alpha+ \dfrac{\beta}{c}) (2)$
$c^2+ \dfrac{1}{a^2}= \dfrac{1}{\sqrt{\alpha^2+ \beta^2}} \sqrt{(c^2+ \dfrac{1}{a^2})(\alpha^2+ \beta^2)} \geq \dfrac{1}{\sqrt{\alpha^2+ \beta^2}}(c \alpha+ \dfrac{\beta}{a}) (3)$
Cộng lại ta đc: $S \geq \dfrac{1}{\sqrt{\alpha^2+ \beta^2}}[ \alpha(a+b+c)+ \beta(\dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c})]=S_{0}$
Do $S$ là một biểu thức đối xứng nên ta dự $S=S_{0}$ tại điểm rơi $a=b=c=2$ và đẳng thức phải xảy ra đồng thời tại các BĐT $(1), (2)$ và $(3)$.
Ta có sơ đồ điểm rơi sau:
$a=b=c=2 \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\dfrac{a}{\alpha}=\dfrac{1}{\beta b}\\\dfrac{b}{\alpha}=\dfrac{1}{\beta c}\\\dfrac{c}{\alpha}=\dfrac{1}{\beta a}\end{array}\right. \Leftrightarrow \dfrac{\alpha}{\beta}= \dfrac{a}{\dfrac{1}{a}}= \dfrac{b}{\dfrac{1}{b}}= \dfrac{c}{\dfrac{1}{c}}= \dfrac{4}{1} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\alpha =4\\\beta =1\end{array}\right. $
Từ đó ta dễ dàng tìm được lời giải đúng

- Như chúng ta đã biết, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có dạng như sau:
Với hai dãy số thực $(a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})$ và $(b_{1}, b_{2}, ..., b_{m})$ ta luôn có bất đẳng thức sau:
$(a_{1}^2+a_{2}^2+...+ a_{m}^2)(b_{1}^2+b_{2}^2+...+b_{m}^2) \geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{m}b_{m})^2$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{a_{1}}{b_{1}}= \dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...= \dfrac{a_{m}}{b_{m}}$
- Nó cũng có một số hệ quả:
1, Bất đẳng thức Schwarz:
Với hai dãy số thực $(a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})$ và $(b_{1}, b_{2}, ..., b_{m})$ sao cho $b_{i} \geq 0$ ta luôn có bất đẳng thức:
$\dfrac{a_{1}^2}{b_{1}}+ \dfrac{a_{2}^2}{b_{2}}+...+ \dfrac{a_{m}^2}{b_{m}} \geq \dfrac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{m})^2}{b_{1}+b_{2}+...+b_{m}}$
2, Bất đẳng thức Minkovsky:
Với 2 dãy số thực $\Large (a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})$ và $\Large (b_{1}, b_{2}, ..., b_{m})$ ta có:
$\Large \sum\limits_{i=1}^{m} \sqrt{a_{i}^2+b_{i}^2} \geq \sqrt{(\sum\limits_{i=1}^{m} a_{i})^2+(\sum\limits_{i=1}^{m} b_{i})^2}$
3, Với mọi dãy số thực $\Large (a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})$ ta có:
$\Large (a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{m})^2 \leq n(a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{m}^2)$
- Đây là một bất đẳng thức rất thông dụng với các bạn THCS và hay được dùng trong các kì thi.
Sau đây là một số bài tập ứng dụng:
1)Cho $|x|<1$ và $|y|<1$. CMR:
$\dfrac{1}{1-x^2}+ \dfrac{1}{1-y^2} \geq \dfrac{2}{1-xy}$
2)CM bất đẳng thức sau với $x$ là số thực không âm:
$\dfrac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}+ \sqrt{x} \leq \sqrt{x+9}$
3) $a,b,c >0$. CMR: $abc(a+b+c) \leq a^3b+b^3c+c^3a$
4)CMR:
$\sqrt{abc}+ \sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} <1 $
với mọi $a,b,c \in (0;1)$
5)Tìm min:
$\sum \limits_{i=1}^{n} (x_{i}+ \dfrac{1}{x_{i}})^2$
với $\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}=1$


p/s: Mong các mod giúp đỡ thêm về phần bài tập để topic không bị rơi vào "quên lãng"

Bài này phải ít nhất 4-5 cách.VD:
C1: vẽ các hv ra ngoài
C2: tạo thành hv có cạnh là cạnh huyền của tam giác vuông
C3: vẽ hv có cạnh bằng tổng 2 cạnh góc vuông, sau đó kẻ // vào trong
.....

Còn mình thích Pythagoras nhất đặc biệt với định lí Py-ta-go