yeutoan2001

CHo hình thang ABCD; E thuộc AB; F thuộc CD.
   Gọi M là giao của FA và EC

   Gọi N là giao của FB và ED

CMR:  MN//BC//AD

P/s: ĐỊnh lí Pappus mà hơi đặc biệt

Nguồn lượm trên FB

Câu 1 : Cho dãy số $( x_n )$ thỏa mãn $x_1 = 2 , x_{n+1}=\frac{2x_n+1}{x_n+2}$

Xác định HSTQ Của $x_n$ và tìm $lim x_n$

 

Câu 2 : Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$ . Một điểm $H$ thuộc đoạn $AB$ . Đường thẳng qua $H$ vuông góc với $AB$ cắt $(O)$ tại $C$ . Đường tròn đường kính $CH$ cắt $AC,AB,(O)$ tại $D,E,F$

 

a) Chứng minh rằng $AB,DE,CF$ đồng quy

 

b) Đường tròn tâm $C$ bán kính $CH$ cắt $(O)$ tại $P,Q$

Chứng minh rằng $P,Q,D,E$ thẳng hàng

 

Câu 3

a) Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn đồng nhất thức :

$x.P(x-1)=(x-3).P(x)$

 

b) Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(xy)+f(x)+f(y)=f(x)f(y)+f(x+y)$  $\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

Câu 4 :Cho $a,b,c$ là 3 số nguyên thỏa mãn $a+b+c=a^2.(c-b)+b^2.(a-c)+c^2(b-a)$ 

Chứng minh rằng $a+b+c$ chia hết cho 27

 

Câu 5 : Cho tập $M$ gồm 2017 số dương $a_1;a_2;...;a_{2017}$ . Xét tất cả các tập con $T_i$ khác rỗng của $M$. Gọi $s_i$ là tổng các số thuộc tập $T_i$ nói trên . Chứng minh rằng có thể chia tập hợp tất cả các số $s_i$ được thành lập như vậy thành 2017 tập hợp con khác rỗng không giao nhau sao cho tỷ số của 2 số bất kì thuộc còng một tập hợp con vừa được thân chia không quá 2

       Câu4:

              $ a+b+c=(b-a)(a-c)(b-c)$
Bây giờ ta sẽ chỉ ra dù sao thì $a+b+c$ cũng chia hết cho $3$ 
          Trước tiên: nếu $3$ số $a,b,c$ có cùng số dư khi chia $3$ thì 
                 VP chia hết cho $3$
                       => VT  chia hết cho $3$
         Vậy còn trường hợp $a,b,c$ có bộ số dư khi chia cho ba lần lượt là $0,1,2$

                       Nhưng như vậy thì $a+b+c$  cũng chia hết cho $3$
Vậy $a+b+c$ chia hết cho $3$ nên phải có hai số có cùng số dư khi chia cho $3$:

               Giả sử đó là $a,b$ cùng số dư  .

                     +>Ta giả sử $a,b$ chia cho $3$ cùng dư $0 $

                       => Vp Chia hết cho $3 => c$ chia hết cho $3 =>$ Vp chia hết cho $27 => a+b+c$ chia hết $27$

                    +> Giả sử a,b cùng chia 3 dư $1 =>$ vì $a+b+c$ chia hết cho 3 nên c cũng chia 3 dư 1

                         vậy $a-b,b-c,c-a $ chia hết cho $3 =>a+b+c$ chia hết 27 

                     +> cùng chia 3 dư 2  vì $ a+b+c$ chia hết cho 3 nên. c chia 3 dư 2 

                           Vậy $a-b;b-c;a-c $ chia hết cho $3 => a+b+c$ chia hết 27

===> QED 

               (lười Latex) 

Câu 1:  Đặt $v_n=\frac{1}{x_{n}+1}$   Hay thay $x_{n}=\frac{1-v_{n}}{v_{n}}$ 

 $=> v_{n+1}=1/3 +1/3.v_n $

           Tới đây dễ tìm được công thức tổng quát và lim 

Câu 1 : Cho dãy số $( x_n )$ thỏa mãn $x_1 = 2 , x_{n+1}=\frac{2x_n+1}{x_n+2}$

Xác định HSTQ Của $x_n$ và tìm $lim x_n$

 

Câu 2 : Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$ . Một điểm $H$ thuộc đoạn $AB$ . Đường thẳng qua $H$ vuông góc với $AB$ cắt $(O)$ tại $C$ . Đường tròn đường kính $CH$ cắt $AC,AB,(O)$ tại $D,E,F$

 

a) Chứng minh rằng $AB,DE,CF$ đồng quy

 

b) Đường tròn tâm $C$ bán kính $CH$ cắt $(O)$ tại $P,Q$

Chứng minh rằng $P,Q,D,E$ thẳng hàng

 

Câu 3

a) Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn đồng nhất thức :

$x.P(x-1)=(x-3).P(x)$

 

b) Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(xy)+f(x)+f(y)=f(x)f(y)+f(x+y)$  $\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

Câu 4 :Cho $a,b,c$ là 3 số nguyên thỏa mãn $a+b+c=a^2.(c-b)+b^2.(a-c)+c^2(b-a)$ 

Chứng minh rằng $a+b+c$ chia hết cho 27

 

Câu 5 : Cho tập $M$ gồm 2017 số dương $a_1;a_2;...;a_{2017}$ . Xét tất cả các tập con $T_i$ khác rỗng của $M$. Gọi $s_i$ là tổng các số thuộc tập $T_i$ nói trên . Chứng minh rằng có thể chia tập hợp tất cả các số $s_i$ được thành lập như vậy thành 2017 tập hợp con khác rỗng không giao nhau sao cho tỷ số của 2 số bất kì thuộc còng một tập hợp con vừa được thân chia không quá 2

           Câu 2 hình: đề nên sữa lại thành 

                 a: $AB,DC,EF$ đồng qui

                 b: $P,Q,E,F$ thẳng hành
Câu 3: a/  Thay: $x=0 => P(0)=0$
                Thay $x=3 => P(2)=0$

                       $=> P(x)=x(x-2)Q(x)$

 Thế vào trên được $Q(x)=Q(x-1) => Q(x)=C: const $

 Hay $P(x)=Cx(x-2)$

Câu 2:

   Đặt ẩn phụ x,y,z dễ dàng có điều sau:

         $x+y+z=5$

         $xyz=1$          

Trong x,y,z cũng có số bé hơn 4 chọn đó là z  

Ta cần CM:

   $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$=$(5-z)z+\frac{1}{z}\geq \frac{17}{4}$

   $\Leftrightarrow (2z-1)^2(4-z)\geq 0$ (đúng) 

Cho $a, b, c\in \mathbb{R}$ thỏa $ab+bc+ca=3.$ Chứng minh rằng: $M=\sqrt[3]{\frac{a^{6}+b^{6}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{b^{6}+c^{6}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{c^{6}+a^{6}}{2}}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})-6.$

          Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức nhỏ sau:

                 $(x-1)^{4}(23x^2-16x+23)\geq$ 0

   <=>   $(3x^2-3x+3)^{3}\geq 4x^6+4$

   <=> $\sqrt[3]{4x^6+4}+4x\leq 3x^2+3$

Thay x=$\frac{a}{b}$

Ta được $\sqrt[3]{\frac{a^6+b^6}{2}}+2ab\leq \frac{3}{2}(a^2+b^2)$

Cộng tương tự lại => ĐPCM

Chiều 1:

$(2m+3)^{n}+1\vdots 3$  

 Dễ dàng => m chia 3 dư 1 và n phải lẻ

 Đồng thời có $3^{n}+1\vdots 2m$ 

      => v₂($3^{n}+1$)$\geq$ 1+v₂(m)

    => đặt m=$2^{x}.\prod pi^{ni}$   (pi lẻ)

         =>  $(\frac{-3}{pi})=1$ vì n+1 chẵn nên dùng thặng dư bình phương

      => $\prod pi^{ni}\equiv 1(mod 6)$ 

         mà m chia 3 dư 1 và x$\leq$1 => x=0 => v₂(m)=0

 Lại có $\frac{3^{n}+1}{2m}$ nguyên mà

            v₂($3^{n}+1$)-v₂(m)=1

=> $\frac{3^{n}+1}{2m}$ chia hết cho 2 => đpcm;

Chiều 2: $3^{n}+1\vdots 4$ => n lẻ

    Ta có:  v₂(3ⁿ+1)$\geq$ v₂(4m) => v₂(m)=0

        Đặt m=$\prod pi^{ni}$ (pi nguyên tố lẻ) Tươgn tự trên => m=6k+1=3h+1

                    Ta cần c/m:  $(2m)^{n-1}+\frac{3^{n}+1}{2m}\vdots 3$

                           Mà có:   $(2m)^{n-1}\equiv 1 (mod3)$ 

                                Đặt  $\frac{3^{n}+1}{2m}=k$

                                      =>$3^{n}+1=2m.k=(6h+2).k$ Dễ thấy k$k\equiv 2(m0d3)$

                         Dễ dàng => $(2m)^{n-1}+\frac{3^{n}+1}{2m}\vdots 3$

Cho $m,n$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng: 

$(2m+3)^n+1\vdots 6m\Leftrightarrow 3^n+1\vdots 4m$

cho a+b+c=1.a,b,c dương:

tìm maxP= $\sum \frac{4}{a+b}-\sum \frac{1}{a}$

Nhân 1=a+b+c vào Ta cần Chứng minh Bất đẳng thức sau:

    $\sum \frac{4(a+b+c)}{a+b}-\sum \frac{a+b+c}{a}\leq 9$

Điều này tương đương với

   $\sum \frac{b+c}{a}\geq \sum \frac{4a}{b+c}$

 ĐIều này đúng vì ta có bất đẳng thức sau và tương tự 

       $\frac{c}{a}+\frac{c}{b}=c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq \frac{4c}{a+b}$

3=\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\geq \sum \sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{ac}{b}}=a+b+c

Tìm được Max của ab+bc+ac 

  => VT>=42>=VP

Cho p là số nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên tố q sao cho với mọi n nguyên dương, 

   $n^p-p$ không chia hết cho q

CHo Tam giác ABC có ba đường cao AH,CM,BN Lấy F thuộc CM sao cho AFB=90, Và D thuộc BN sao cho ADC=90 F,D nằm trong tam giác ABC. Trực tâm tam giác ABC là K

   P thuộc BC sao cho BF,CD,PK đồng qui 

 CMR:   DFPH nội tiếp

Kỹ thuật này dùng phương pháp đồng nhất hệ số. Đầu tiên dùng bất đẳng thức AM-GM hoặc AM-GM suy rộng ta sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất khi $x=y=z$ và bài toán quy về chứng minh

\[(3x^2+4y^2+5z^2)(3x+2y+z) - 72xyz \geqslant 0.\]

Vì vế trái là một đa thức bậc $3$ không hoán vị cũng không đối xứng nên nếu biểu diễn được dưới dạng sos thì nó có thể có dạng

\[\begin{aligned}(3x^2+4y^2&+5z^2)(3x+2y+z) - 72xyz =  \\&= (m_1x+m_2y+m_3z)(x-y)^2 + (m_4x+m_5y+m_6z)(y-z)^2 + (m_7x+m_8y+m_9z)(z-x)^2.\end{aligned}\]

Đồng nhất hệ số hai vế giải hệ phương trình tìm nghiệm $m_i \geqslant 0,\,i=1,\,2,\,\ldots,\,9.$ Chú ý rằng hệ phương trình thu được là hệ phương trình tuyến tính và có thể có nhiều nghiệm nên phân tích trên không phải là duy nhất.

 

Có thể xem thêm ở đây.

   Anh có Tool hỗ trợ không ạ chứ em thấy anh biến đổi các bài phức tạp đều về SOS và chỉ cần tiêu chuẩn cơ bản

x, y, z là các số thực thỏa mãn: $2xyz=3x^{2}+4y^{2}+5z^{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất: $P=3x+2y+z$

  2xyz=$3x^2+4y^2+5z^2\geq 12\sqrt[12]{x^6y^8z^10}$ 

Suy ra $x^{3}y^{2}z\geq 6^6$

Mà: P=3x+2y+z$\geq 6\sqrt[6]{x^3y^2z}\geq 36$

Đặt y-1=2k 

Bài toán tương đương:

     $2^{x-2}(2^x+1)=k(k+1)$

 Vì (k,k+1)=1 Nên xét 2 TH sau:

  TH1:  $k=2^{x-2}t$

      => $2^x+1=t(2^{x-2}t+1)$

                 Dễ thấy t>=2 thì VP>VT

                       Và t=1 thì Vô nghiệm

  TH2: $k+1=2^{x-2}t$

    => $2^{x-2}.t^2=2^x+1+t$

  <=> $2^{x-3}t^{2}+2t^{2}>2^{x-3}.8+t+1$ 

           (đúng trong TH t>=3)

Vậy xét TH t=1;t=2 => x

Cho các số thực dương a,b,c TM:

        $a^2+b^2+c^2=3$

CMR: 

     $\sum \frac{1}{1+a^2b^2}\geq \frac{9}{2(a+b+c)}$