yeutoan2001

BÀi 3: Đưa về n=a-b

                        m=a+b

  Và$m^{2}\vdots m^{2}-n^{2}+1$ <=> $(a+b)^{2}\vdots 4ab+1$ 

    Đến đây thì theo link sau

          Đề fthi Học sinh giỏi Bình Dương 2016-2017

                  http://diendantoanho...-nhất-09092016/

Câu 1:

   y>x

       Có $(2xy+1)^{2}> 4x^{2}y^{2}-7x+7y> (2xy)^{2}$

 Xét x>y $(2xy)^{2}>4x^{2}y^{2}-7x+7y> (2xy-1)^{2}$

  Vậy x=y

Ta dễ có: $n\equiv 0,1,2,3 (mod 4)$ Ta sẽ thu được lần lượt là $2^{n}\equiv 1;2;4;3$ 

      CHẳng hạn xét 1TH: Các TH còn lại tương tự $n\equiv 0 (mod 4) thì

 $n^{2}\equiv 4 (mod 5)$ 

         => $n\equiv 2 (mod5)$

                Dùng định lí phần dư trung hoa để tìm n sẽ có dạng: 

                      $n\equiv 0 (mod 4)$

                      $n\equiv 2 (mod5)$               

                  => $n\equiv 12 (mod20)$

 Các TH còn lại thì tương tự ta sẽ tìm đuwọc các số cần tìm theo môđun 20 

thôi có lẽ mình hiểu rồi . cảm ơn bạn . 

  Đúng rồi bạn bổ đề đúng với p nguyên tố tuy nhiên một số a=4k+3  thì luôn tồn tại tối thiểu một ước p=4h+3 (p nguyên tố) 

Dễ có $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq 3$

CÓ VT= $\sum (\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{2a})-\sum \sqrt{2a}\leq \sum \sqrt{2(a+1)^{2}}-\sum \sqrt{2a}$

=$\sqrt{2}(a+b+c)+(3\sqrt{2}-\sum \sqrt{2a})\leq \sqrt{2}(a+b+c)$

Đường dẫn ấy dẫn tới link drive của chính mình nên tụi mình không thể lấy tài liệu của bạn ấy đuwọc chỉ có bạn ấy mới có thể thấy

http://diendantoanho...h-bất-đẳng-thức

        Đề Thi HSG VĨnh Phúc 2014-2015

Chứng minh: $(a^{2}+6)(b^{2}+6)\leq ((\frac{a+b}{2})^{2}+2)^{2}$ (Bằng cách xét hiệu Đúng với a>=b>=c)

Sau đó thay a+b=6-c Xét hiệu một biến theo

Bài 1.

Tìm x, y nguyên dương và p nguyên tố thoả mãn $x^5+x^4+1=p^y$

Bài 2.

Tìm x,y nguyên thoả mãn $x^3+(x+1)^3+(x+2)^3+...+(x+7)^3=y^3$

Bài 3.

Tim x,y nguyên thoả mãn $(x^2-y^2)^2=1+16y$

Câu1: $x^{5}+x^{4}+1=p^{y} <=> (x^{3}-x+1)(x^{2}+x+1)=p^{y}$

    Xét 2TH:  

               TH1: Tồn tại một thừa số bằng 1 

                TH2: $x^{3}-x+1=p^{a}  (1) ;x^{2}+x+1=p^{b}$ (2)  (với a,b>=1) 

                             $x^{3}-x^{2}-2x=p^{a}-p^{b} <=> x(x^{2}-x-2)\vdots p$

                                 Dễ thấy x không chia hết cho p vì nếu x chia hết cho p  theo (1) thì p=1(vô lí) 

                                   Vậy $x^{2}-x-2\vdots p <=> (x-2)(x+1)\vdots p$ 

                                                   $x\equiv 2 (mod p)$

                                                   Theo 2 ta có: $x^{2}+x+1\equiv 7 (mod p)$ => p=7 và thử lại 

                                             Tương tự với TH còn lại 

đoạn màu đỏ vì sao lại được như vậy bạn 

Có $(m+n)^{3}-8\vdots m^{2}+n^{2} <=> (m+n)(m^{2}+n^{2}+2mn-2m-2n+4)\vdots m^{2}+n^{2}$

 DO $p=m^{2}+n^{2}$ là số nguyên tố đó  

Tìm x,a,b nguyên dương  $2^{x}=a^{b}+1$

Giả sử a,b,c,d là các số nguyên sao cho a-b+c-d là số nguyên lẻ và là ước của $a^2-b^2+c^2-d^2$. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n ta đều có $a^n-b^n+c^n-d^n$ chia hết cho $a-b+c-d$.

       Chứng minh bằng qui nạp: Giả sử Đúng tới n ta cần chứng minh đúng tới n+1 có nghĩa ta cần C/m:  $a^{n+1}-b^{n+1}+c^{n+1}-d^{n+1}\vdots a-b+c-d$

        CÓ  $a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}\vdots a-b+c-d => ac-bd\vdots a-b+c-d$

               Có: $(a^{n}+c^{n})-(b^{n}+d^{n})\vdots (a+c)-(b+d) => (a^{n}+c^{n})(a+c)-(b^{n}+d^{n})(b+d)\vdots (a+c)-(b+d)$

               Lại có: $ac(a^{n-1}+c^{n-1})-bd(b^{n-1}+d^{n-1})\vdots (a+c)-(b+d)$

Vì 

                    $$ac-bd\vdots a-b+c-d$ Và   (a^{n-1}+c^{n-1})-(b^{n-1}+d^{n-1})\vdots a-b+c-d$$

Từ đó dễ dàng suy ra  $a^{n+1}-b^{n+1}+c^{n+1}-d^{n+1}\vdots a-b+c-d$

Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz=4$. Tìm GTLN của P $=x+y+z$

Cần C/m: $2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+xyz+xyz+1\geq 2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}=2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+\frac{3xyz}{\sqrt[3]{xyz}}\geq \frac{9xyz}{x+y+z}+2x^{2}+2y^{2}+2z^{2} \geq 2(xy+yz+xz)-x^{2}-y^{2}-z^{2}+2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}=(x+y+z)^{2}$

(Bất đẳng thức $\frac{9xyz}{x+y+z}\geq 2xy+2yz+2xz-x^{2}-y^{2}-z^{2}$ (là bất đẳng thức schur bậc 3 nha)

Baif1: Cho a,b,c$\geq 1$CMR$a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)+2(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2})\geq 9$

Bài 2:Cho a,b,c dương và $abc>1$.CMR

$\sum \frac{a}{\sqrt{b+\sqrt{ac}}}\geq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Bài 3;Cho x,y,z>0,xyz=1.Tìm GTNN

A=$\sum \frac{x^2(y+z)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}$

Baif4 :Cho a,b,c>0,ab+ac+bc=1.

CMR$\sum \frac{1}{ab}\geq 3+\sum \sqrt{\frac{1}{a^2}+1}$

BÀi 4:  Bất đẳng thức cần c/M tương đương với Nhân cả hai vế với abc

              $a+b+c\geq 3abc+\sum bc\sqrt{a^{2}+1} <=> a+b+c\geq 3abc+bc\sqrt{(a+b)(a+c)}$

 Có cô si: $3abc+\sum bc\sqrt{(a+b)(a+c)}\leq 3abc+\sum \frac{abc+bc(a+b+c)}{2}=3abc+\frac{3abc+(ab+bc+ac)(a+b+c)}{2}=\frac{9}{2}abc+\frac{a+b+c}{2}$

Cần C/m: $\frac{9}{2}abc+\frac{a+b+c}{2}\leq a+b+c <=> (a+b+c)(ab+bc+ac)\geq 9abc$ (đúng nên bài toán được C/m)