Hoặc dùng phương pháp ẩn phụ http://diendantoanho...h-bất-đẳng-thức
- quanguefa và hocngoan123 thích
Gửi bởi yeutoan2001 trong 22-11-2016 - 21:14
Gửi bởi yeutoan2001 trong 22-11-2016 - 21:13
Đặt $\frac{b}{a}=x; \frac{c}{b}=y; \frac{a}{c}=z$ => xyz=1
VT=$\frac{1}{2}\sum (\frac{1}{(x+1)^{3}}+\frac{1}{(x+1)^{3}}+\frac{1}{2^{3}})-\frac{3}{16}\geq \frac{1}{2}\sum \frac{3}{2}(\frac{1}{(x+1)^{2}})-3:16$
Chỉ cần tìm Min của $\sum \frac{1}{(x+1)^{2}}\geq \frac{3}{4}$
Dùng Bất đẳng thức Phụ Sau: $\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{(y+1)^{2}}\geq \frac{1}{xy+1}$
=> $\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{(z+1)^{2}}\doteq \frac{z}{z+1}+ \frac{1}{(z+1)^{2}} \geq \frac{3}{4}$
Gửi bởi yeutoan2001 trong 21-11-2016 - 14:08
y là nghiệm của phương trình ta có:
$(y^{4}+1)^{2}=(ay^{3}+by^{2}+cy)^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})(y^{6}+y^{4}+y^{2})$
Dễ dàng chứng minh được
Đặt $y^{2}=a$ Dễ dàng C/m: $\frac{(a^{2}+1)^{2}}{a(a^{2}+a+1)}\geq \frac{4}{3} <=> (3a^{2}+2a+3)(a-1)^{2}\geq 0$
Gửi bởi yeutoan2001 trong 20-11-2016 - 22:47
Xét x lẻ Theo LTE thì v2(3x -1)= v2(2)=1 $\geq$ x Suy ra x=1; y=1
Xét x chẵn Theo LTE thì v2(3x -1)=v2(3-1)+v2(3+1)+v2(x)-1 $\geq$ x
Tương đương 2+v2(x) $\geq$ x
Đặt x=2a.b với (a,b)=1 ;a,b $\geq$ 1
vậy ta có: 2+v2(x) $\geq$ x <=> 2+a $\geq$ 2a.b Mà 2a.b $\geq$ (1+1)a > a+1 hay 2a.b $\geq$ a+2
Dấu bằng xảy ra khi b=1; a=2 => x=4 => y=5
Đánh giá trên là BĐT bernoullin nha bạn, không thì chứng minh qui nạp cũng dễ (1+1)a > a+1 với a $\geq$ 3
Gửi bởi yeutoan2001 trong 20-11-2016 - 06:35
Dùng Bunhia
$(\sqrt{x^{2}+1}.1+\sqrt{2x}.1)^{2}\leqslant (x^{2}+1+2x)(1+1)=2(x+1)^{2}$
$(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}\leqslant (x+y+z)(1+1+1)=9$
A=$A=\sum (\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{2x})+\sum (3-\sqrt{2})(x+y+z)\leqslant \sqrt{2}(x+1+y+1+z+1)+(3-\sqrt{2})(3)$
Gửi bởi yeutoan2001 trong 13-11-2016 - 21:10
Có: $(a-1)(b-1)\geq 0 <=> ab+1\geq a+b$ Đồng thời dùng luôn bất đẳng thức này vào các số hạng
$\frac{a}{b+c}\leq \frac{2a}{a+b+c}$
$\sum \frac{a}{bc+1}\leq \sum \frac{a}{b+c}\leq \sum \frac{2a}{a+b+c}=2$
Dấu bằng xảy ra khi hai số bằng 1 và một số bằng 0
Gửi bởi yeutoan2001 trong 13-11-2016 - 18:03
Gửi bởi yeutoan2001 trong 13-11-2016 - 17:59
Gọi xo là nghiệm của PT trên ta có $0=xo^{4}+axo^{3}+2xo^{2}+bxo+1$
Suy ra: $(xo^{4}+2xo^{2}+1)^{2}\doteq (axo^{3}+bxo)^{2}\leq (a^{2}+b^{2})(xo^{6}+xo^{2})$
Dễ dàng C/m bằng cô si: $\frac{(xo^{4}+1+2xo^{2})^{2}}{x^{2}(x^{4}+1)}\geq \frac{4(xo^{4}+1)(2xo^{2})}{xo^{2}(xo^{4}+1)}=8$
Gửi bởi yeutoan2001 trong 12-11-2016 - 12:26
Chứng Minh bất đẳng thức phụ sau bàng cách xét hiệu $\frac{x^{4}+y^{4}}{x^{3}+y^{3}}\geq \frac{x+y}{2}$
Tương đương với: $x^{4}+y^{4}-xy^{3}-x^{3}y\geq 0 <=> (x-y)(x^{3}-y^{3})\geq 0 <=> (x-y)^{2}(x^{2}+xy+y^{2})\geq 0$( luôn đúng)
Tương tự với các Số hạng còn lại ta tìm được min bạn nhé
Gửi bởi yeutoan2001 trong 10-11-2016 - 16:11
Đề:
Chứng minh rằng:
$\sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} +...+ \sqrt{n} \leqslant n\sqrt{\frac{n+1}{2}}$
Giúp em giải nhanh trong ngày hôm nay nhé! <3
Bunhia cho n số bạn nhé:
$(\sqrt{1}.1+\sqrt{2}.1+...+\sqrt{n}.1)^{2}\leq (1+1+...+1)(1+2+...+n)=n.\frac{n(n+1)}{2}$
Căn bậc hai hai vế ta có đpcm nhé
Gửi bởi yeutoan2001 trong 10-11-2016 - 16:01
2, Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: $ab + bc + ca = 3$. Chứng minh rằng:$\frac{1}{1+a^{^{2}}+b^{2}}+\frac{1}{1+a^{^{2}}+b^{2}}+\frac{1}{1+a^{^{2}}+b^{2}}\leq 1 $
$\sum \frac{c^{2}+1+1}{(a^{2}+b^{2}+1)(1+1+c^{2})}\leq \sum \frac{c^{2}+2}{(a+b+c)^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6}{(a+b+c)^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6}=1$
Gửi bởi yeutoan2001 trong 18-10-2016 - 08:37
$\sqrt{a^2+3}=\sqrt{a^2+ab+bc+ac}=\sqrt{(a+c)(a+b)} \leq \frac{2a+b+c}{2}$
Tương tự với các Phân thức còn lại ta đuwọc vế BĐT đâu tiền
Gửi bởi yeutoan2001 trong 13-10-2016 - 16:08
Mình xin tóm tắt hướng làm Đặt x=1/a;y=1/b;z=1/c => x+y+z<=3
Bạn có thể phan tích phân thức đầu tiên thành $\sum \frac{(\frac{1}{x})^{2}}{2xy+x^{2}}\geq \frac{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}}{(x+y+z)^{2}}\geq \frac{9}{(x+y+z)^{4}}>=9/3^4$
Gửi bởi yeutoan2001 trong 26-09-2016 - 20:34
a$\frac{a}{b}=\frac{a^{2}}{ab} vì ab<=\frac{(a+b)^{2})}{4}<=1/4 suy ra \frac{a}{b}>=4a^{2} => a^{2}-\frac{3}{4a}-\frac{a}{b}<=-3a^{2}-\frac{3}{4a}=-3(a^{2}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a})<=\frac{-9}{4} Cái này a^{2}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a} >=3/4 Cosi cho 3 số dượng bạn nhé$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học