Đến nội dung

yeutoan2001

yeutoan2001

Đăng ký: 02-07-2016
Offline Đăng nhập: 30-09-2018 - 17:49
-----

#662751 $\sum \frac{a^{3}}{(a+b)^{3...

Gửi bởi yeutoan2001 trong 22-11-2016 - 21:14

Hoặc dùng phương pháp ẩn phụ  http://diendantoanho...h-bất-đẳng-thức




#662750 $\sum \frac{a^{3}}{(a+b)^{3...

Gửi bởi yeutoan2001 trong 22-11-2016 - 21:13

Đặt $\frac{b}{a}=x; \frac{c}{b}=y; \frac{a}{c}=z$ => xyz=1

VT=$\frac{1}{2}\sum (\frac{1}{(x+1)^{3}}+\frac{1}{(x+1)^{3}}+\frac{1}{2^{3}})-\frac{3}{16}\geq \frac{1}{2}\sum \frac{3}{2}(\frac{1}{(x+1)^{2}})-3:16$

Chỉ cần tìm Min của  $\sum \frac{1}{(x+1)^{2}}\geq \frac{3}{4}$ 

               Dùng Bất đẳng thức Phụ Sau:  $\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{(y+1)^{2}}\geq \frac{1}{xy+1}$

                        => $\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{(z+1)^{2}}\doteq \frac{z}{z+1}+ \frac{1}{(z+1)^{2}} \geq \frac{3}{4}$




#662607 Chứng minh rằng:$a^2+b^2+c^2\ge \frac{4}{3...

Gửi bởi yeutoan2001 trong 21-11-2016 - 14:08

y là nghiệm của phương trình ta có:  

       $(y^{4}+1)^{2}=(ay^{3}+by^{2}+cy)^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})(y^{6}+y^{4}+y^{2})$

Dễ dàng chứng minh được

Đặt $y^{2}=a$ Dễ dàng C/m: $\frac{(a^{2}+1)^{2}}{a(a^{2}+a+1)}\geq \frac{4}{3} <=> (3a^{2}+2a+3)(a-1)^{2}\geq 0$




#662580 Tìm: $x,y\in \mathbb{N}^*$ thỏa mãn: $3^x=...

Gửi bởi yeutoan2001 trong 20-11-2016 - 22:47

Xét x lẻ Theo LTE thì v2(3-1)= v2(2)=1 $\geq$ x  Suy ra  x=1; y=1

Xét x chẵn Theo LTE thì v2(3-1)=v2(3-1)+v2(3+1)+v2(x)-1 $\geq$ x 

                                Tương đương 2+v2(x) $\geq$ x

Đặt x=2a.b với (a,b)=1 ;a,b $\geq$ 1

vậy ta có: 2+v2(x) $\geq$ x <=> 2+a $\geq$ 2a.b   Mà 2a.b $\geq$ (1+1)a > a+1  hay 2a.b $\geq$ a+2

    Dấu bằng xảy ra khi b=1; a=2 => x=4 => y=5

Đánh giá trên là BĐT bernoullin nha bạn, không thì chứng minh qui nạp cũng dễ (1+1)a > a+1 với a $\geq$ 3




#662479 Tìm GTLN của $A = \sqrt{1+ x^2} + \sqrt{1 + y^2...

Gửi bởi yeutoan2001 trong 20-11-2016 - 06:35

Dùng Bunhia 

   $(\sqrt{x^{2}+1}.1+\sqrt{2x}.1)^{2}\leqslant (x^{2}+1+2x)(1+1)=2(x+1)^{2}$

   $(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}\leqslant (x+y+z)(1+1+1)=9$

 

A=$A=\sum (\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{2x})+\sum (3-\sqrt{2})(x+y+z)\leqslant \sqrt{2}(x+1+y+1+z+1)+(3-\sqrt{2})(3)$




#661820 Cho các số thực a, b, c thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh rằng: $\frac...

Gửi bởi yeutoan2001 trong 13-11-2016 - 21:10

Có:  $(a-1)(b-1)\geq 0 <=> ab+1\geq a+b$  Đồng thời dùng luôn bất đẳng thức này vào các số hạng 

$\frac{a}{b+c}\leq \frac{2a}{a+b+c}$

$\sum \frac{a}{bc+1}\leq \sum \frac{a}{b+c}\leq \sum \frac{2a}{a+b+c}=2$

Dấu bằng xảy ra khi hai số bằng 1 và một số bằng 0




#661796 Cauchy-Schwarz

Gửi bởi yeutoan2001 trong 13-11-2016 - 18:03

cám ơn bạn nhiều! <3

Xin like 




#661795 4. Nếu phương trình $ x^4+ ax^3 +2x^2+bx+1=0 $ co it nhất một nghi...

Gửi bởi yeutoan2001 trong 13-11-2016 - 17:59

Gọi xo là nghiệm của PT trên ta có $0=xo^{4}+axo^{3}+2xo^{2}+bxo+1$

Suy ra: $(xo^{4}+2xo^{2}+1)^{2}\doteq (axo^{3}+bxo)^{2}\leq (a^{2}+b^{2})(xo^{6}+xo^{2})$

Dễ dàng C/m bằng cô si:  $\frac{(xo^{4}+1+2xo^{2})^{2}}{x^{2}(x^{4}+1)}\geq \frac{4(xo^{4}+1)(2xo^{2})}{xo^{2}(xo^{4}+1)}=8$




#661628 Chứng minh rằng $\sum \frac{x^{4}+y^{4...

Gửi bởi yeutoan2001 trong 12-11-2016 - 12:26

Chứng Minh bất đẳng thức phụ sau bàng cách xét hiệu $\frac{x^{4}+y^{4}}{x^{3}+y^{3}}\geq \frac{x+y}{2}$

Tương đương với: $x^{4}+y^{4}-xy^{3}-x^{3}y\geq 0 <=> (x-y)(x^{3}-y^{3})\geq 0 <=> (x-y)^{2}(x^{2}+xy+y^{2})\geq 0$( luôn đúng)

Tương tự với các Số hạng còn lại ta tìm được min bạn nhé




#661372 Cauchy-Schwarz

Gửi bởi yeutoan2001 trong 10-11-2016 - 16:11

Đề:

 

Chứng minh rằng:

          

             $\sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} +...+ \sqrt{n} \leqslant n\sqrt{\frac{n+1}{2}}$

 

Giúp em giải nhanh trong ngày hôm nay nhé! <3

Bunhia cho n số bạn nhé:

$(\sqrt{1}.1+\sqrt{2}.1+...+\sqrt{n}.1)^{2}\leq (1+1+...+1)(1+2+...+n)=n.\frac{n(n+1)}{2}$

Căn bậc hai hai vế ta có đpcm nhé




#661371 Cauchy-Schwarz

Gửi bởi yeutoan2001 trong 10-11-2016 - 16:01

 

2, Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: $ab + bc + ca = 3$. Chứng minh rằng:
 
$\frac{1}{1+a^{^{2}}+b^{2}}+\frac{1}{1+a^{^{2}}+b^{2}}+\frac{1}{1+a^{^{2}}+b^{2}}\leq 1 $

 

$\sum \frac{c^{2}+1+1}{(a^{2}+b^{2}+1)(1+1+c^{2})}\leq \sum \frac{c^{2}+2}{(a+b+c)^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6}{(a+b+c)^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6}=1$




#658270 Chứng minh bất đẳng thức

Gửi bởi yeutoan2001 trong 18-10-2016 - 08:37

$\sqrt{a^2+3}=\sqrt{a^2+ab+bc+ac}=\sqrt{(a+c)(a+b)} \leq \frac{2a+b+c}{2}$

Tương tự với các Phân thức còn lại ta đuwọc vế BĐT đâu  tiền




#657736 CMR: $\frac{a^{4}b}{2a+b}+\frac...

Gửi bởi yeutoan2001 trong 13-10-2016 - 16:08

Mình xin tóm tắt hướng làm Đặt x=1/a;y=1/b;z=1/c => x+y+z<=3 
Bạn có thể phan tích phân thức đầu tiên thành  $\sum \frac{(\frac{1}{x})^{2}}{2xy+x^{2}}\geq \frac{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}}{(x+y+z)^{2}}\geq \frac{9}{(x+y+z)^{4}}>=9/3^4$




#655654 Cho a,b là hai số dương thoả mãn $a+b \leqslant 1$.

Gửi bởi yeutoan2001 trong 26-09-2016 - 20:34

a$\frac{a}{b}=\frac{a^{2}}{ab} vì ab<=\frac{(a+b)^{2})}{4}<=1/4 suy ra \frac{a}{b}>=4a^{2} => a^{2}-\frac{3}{4a}-\frac{a}{b}<=-3a^{2}-\frac{3}{4a}=-3(a^{2}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a})<=\frac{-9}{4} Cái này a^{2}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a} >=3/4 Cosi cho 3 số dượng bạn nhé$