Ta có công thức góc chia đôi: $\frac{1-\cos\alpha}{2}=\sin^{2}\frac{\alpha}{2}$ suy ra $2\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{2-2\cos\alpha}$
(Trong đó dấu + hoặc - sẽ được chọn sao cho phù hợp với quy luật về dấu của hàm sin)
Ta chứng minh công thức
$2\sin(a_{1}+\frac{a_{1}a_{2}}{2}+\frac{a_{1}a_{2}a_{3}}{2^2}+...+\frac{a_{1}a_{2}...a_{n}}{2^{n-1}}).45^{\circ}$
$=\pm\sqrt{2+2\sin(a_{2}+\frac{a_{2}a_{3}}{2}+\frac{a_{2}a_{3}a_{4}}{2^2}+...+\frac{a_{2}a_{3}...a_{n}}{2^{n-2}}).45^{\circ}} (1)$
Nhận thấy:
+ Với $a_{1}=1$ thì:
$2\sin(a_{1}+\frac{a_{1}a_{2}}{2}+\frac{a_{1}a_{2}a_{3}}{2^2}+...+\frac{a_{1}a_{2}...a_{n}}{2^{n-1}}).45^{\circ}$
$=90^{\circ}+(a_{2}+\frac{a_{2}a_{3}}{2}+\frac{a_{2}a_{3}a_{4}}{2^2}+...+\frac{a_{2}a_{3}...a_{n}}{2^{n-2}}).45^{\circ}$
+ Với $a_{1}=-1$ thì:
$2\sin(a_{1}+\frac{a_{1}a_{2}}{2}+\frac{a_{1}a_{2}a_{3}}{2^2}+...+\frac{a_{1}a_{2}...a_{n}}{2^{n-1}}).45^{\circ}$
$=-[90^{\circ}+(a_{2}+\frac{a_{2}a_{3}}{2}+\frac{a_{2}a_{3}a_{4}}{2^2}+...+\frac{a_{2}a_{3}...a_{n}}{2^{n-2}}).45^{\circ}]$
Lại có:
$\cos\pm[90^{\circ}+(a_{2}+\frac{a_{2}a_{3}}{2}+\frac{a_{2}a_{3}a_{4}}{2^2}+...+\frac{a_{2}a_{3}...a_{n}}{2^{n-2}}).45^{\circ}]$
$=-\sin(a_{2}+\frac{a_{2}a_{3}}{2}+\frac{a_{2}a_{3}a_{4}}{2^2}+...+\frac{a_{2}a_{3}...a_{n}}{2^{n-2}}).45^{\circ}$
Áp dụng công thức góc chia đôi , ta chứng minh được công thức (1).
Để ý rằng các góc đang xét trên, nếu lấy giá trị tuyệt đối, thì chúng luôn nhỏ hơn $90^{\circ}$:
$(a_{1}+\frac{a_{1}a_{2}}{2}+\frac{a_{1}a_{2}a_{3}}{2^2}+...+\frac{a_{1}a_{2}...a_{n}}{2^{n-1}}).45^{\circ}$
$\leq (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n}).45^{\circ}=90^{\circ}-\frac{90^{\circ}}{2^{n+1}}<90^{\circ}$
Nên căn bậc hai trong công thức trên sẽ có dấu + hoặc - phụ thuộc vào dấu của $a_{1}$, nên ta có thể viết lại thành:
$2\sin(a_{1}+\frac{a_{1}a_{2}}{2}+\frac{a_{1}a_{2}a_{3}}{2^2}+...+\frac{a_{1}a_{2}...a_{n}}{2^{n-1}}).45^{\circ}$
$=a_{1}\sqrt{2+2\sin(a_{2}+\frac{a_{2}a_{3}}{2}+\frac{a_{2}a_{3}a_{4}}{2^2}+...+\frac{a_{2}a_{3}...a_{n}}{2^{n-2}}).45^{\circ}}$
Vì các $a_{i}$ chỉ nhận giá trị là $1$ và $-1$ nên ta dễ thấy $2sina_{i}.45^{\circ}=a_{i}\sqrt{2}$
từ đó áp dụng liên tiếp công thức (1) , ta suy ra được hệ thức sau :
$2\sin(a_{1}+\frac{a_{1}a_{2}}{2}+\frac{a_{1}a_{2}a_{3}}{2^2}+...+\frac{a_{1}a_{2}...a_{n}}{2^{n-1}}).45^{\circ}$
$=a_{1}\sqrt{2+2\sin(a_{2}+\frac{a_{2}a_{3}}{2}+\frac{a_{2}a_{3}a_{4}}{2^2}+...+\frac{a_{2}a_{3}...a_{n}}{2^{n-2}}).45^{\circ}}$
$=a_1\sqrt{2+a_2\sqrt{2+2\sin(a_{3}+\frac{a_{3}a_{4}}{2}+\frac{a_{3}a_{4}a_{5}}{2^2}+...+\frac{a_{3}a_{4}...a_{n}}{2^{n-3}}).45^{\circ}}}$
$=....=a_{1}\sqrt{2+a_{2}\sqrt{2+a_{3}\sqrt{2+....+a_{n}\sqrt{2}}}}$ (đpcm)