datdo

Bài 5 khá giống đề chuyên Khánh Hòa

Từ đề bài=> Có 6 điểm cùng màu

Gọi 6 điểm đó là A,B,C,D,E,F đều được tô bởi màu đỏ

Xét 5 đoạn thẳng đó là AB, AC, AD, AE, AF=> tồn tại 3 đoạn thẳng cùng màu(giả sử cùng màu nâu)

Gọi 3 đoạn đó là AB, AC, AD

Xét tam giác BCD

Khả năng 1: 3 đoạn BC, CD, BD cùng màu tím => tam giác BCD thỏa mãn

Khả năng 2: Trong 3 đoạn BC, CD, BD có 1 đoạn màu tím

Giả sử BC nâu -> tam giác ABC thỏa mãn ycbt

Từ giả thiết => $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=0$

<=>$\frac{a+b+c}{abc}=0$

=> a+b+c=0

Ta có: $a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a+b+c)^{3}-3(a+b)(b+c)(c+a)=0-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc=3abc$

Ta có: $\sqrt{x^{2}(1-x^{2})}\leq \frac{x^{2}+1-x^{2}}{2}= \frac{1}{2}$

          $\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}(1-x^{2})}}\geq 2x^{3}$

Tương tự: $\frac{y^{2}}{\sqrt{1-y^{2}}}\geq 2y^{3}$

Từ đề bài=> Có 6 đoạn thẳng cùng màu

Gọi 6 đoạn thẳng đó là AB, AC, AD, AE, AF, AG đều được tô bởi màu đỏ

TH1: Nếu các điểm B,C,D,E,F,G được nối với nhau bởi các đoạn thẳng màu đỏ

-> Tồn tại tam giác có 3 cạnh màu đỏ (thỏa mãn ycbt)

TH2: Nếu các điểm B,C,D,E,F,G được nối với nhau bởi các đoạn thẳng màu xanh hoặc vàng.

Theo Dirichlet, trong 5 đoạn BC,BD,BE,BF,BG tồn tại 3 đoạn cùng màu(giả sử màu vàng)

Gọi 3 đoạn đó là BC, BD, BE

Xét tam giác BDE

Khả năng 1: 3 đoạn CD, DE, CE cùng màu xanh => đpcm

Khả năng 2: Trong 3 đoạn CD,DE,CE có 1 đoạn màu vàng

Giả sử CD vàng -> tam giác BCD thỏa mãn ycbt