redfox

1. Tên Nick ứng viên: vutuanhien

2. Thành tích (đóng góp) nổi bật: Là thành viên thảo luận sôi nổi trên nhiều topic Toán Đại cương

Lời giải của bạn chưa chính xác. Phép quy nạp của bạn chỉ giúp chỉ ra là $n-1$ thỏa mãn chứ ko chứng minh nó lớn nhất.

Có thể chuyển điều kiện bài toán thành như thế này.

Tìm $k$ lớn nhất để mà 2 tập bất kì trong $k$ tập này thỏa mãn 3 điều kiện sau:

1) Không có tập nào là $S_n$

2) 2 tập này ko là phần bù của nhau

3) 2 tập này hoặc rời nhau hoặc là có tập này chứa tập kia

 

Vd tập các tập hợp này thỏa mãn $\left \{1 \right \},\left\{2 \right \},...,\left \{2016 \right \},\left \{2017 \right \},\left \{1,2 \right \},\left \{1,2,3 \right \},...,\left \{1,2,3,..,2015 \right \}$.

mình đã chứng minh $k_n \leq n-1$ rồi bạn.

http://myweb.facstaf...kara/brooks.pdf brook's theorem nhé.

Mình xin giải quyết 2 vấn đề trên như sau :

Trước tiên ta chứng minh bằng quy nạp rằng $P_n(x)> x,\forall x> 1$

  + Ta có $4x^3> 4x,\forall x> 1\Rightarrow P_1(x)=4x^3-3x> x,\forall x> 1$

  + Giả sử với $m\in\mathbb{N},m\geqslant 1$, ta có $P_m(x)> x,\forall x> 1$

     Khi đó ta có $4[P_m(x)]^2> 4P_m(x)\Rightarrow P_{m+1}(x)=4[P_m(x)]^2-3P_m(x)> P_m(x)> x,\forall x> 1$

  + Theo nguyên lý quy nạp, ta có $P_n(x)> x,\forall x> 1$

Cũng bằng quy nạp tương tự, ta chứng minh được $P_n(x)< x,\forall x< -1$

Vậy nếu phương trình $P_n(x)=x$ (*) có nghiệm thì nghiệm đó phải thuộc $[-1;1]$. Do đó ta đặt $x=\cos t$

Thực ra chỉ cần chỉ ra $3^n$ nghiệm phân biệt của $P_n(x)$ vì rõ ràng $degP_n(x)=3^n$

 Câu4 Đáp án : $n^2/4$ . 

 

Thật vậy ta có nhận xét : Cứ 1 tập con đẹp thì mỗi ô vuông 2*2 đều bị tập con này lấy ít nhất 1 ô

Tổ hợp mà dễ thế này phải xem lại.

Coi bàn cờ là một đồ thị với các đỉnh là các ô vuông, hai đỉnh nối với nhau nếu hai ô vuông có cạnh chung. Có tất cả $n^2$ đỉnh và $2n(n-1)$ cạnh. Nếu ta bỏ các đỉnh thuộc $X$ thì thu được một đồ thị không chứa chu trình (vì không có chu trình nào không có đỉnh thuộc $X$). Gọi số đỉnh bị bỏ đi là $v$, số cạnh bị mất do bỏ đỉnh là $e$, vì mỗi đỉnh có bậc không quá $4$ nên $e\leq 4v$. Vì đồ thị thu được không có chu trình nên số đỉnh lớn hơn số cạnh suy ra $n^2-v> 2n(n-1)-e\geq 2n(n-1)-4v\Rightarrow v> \frac{n^2-2n}{3}$. Ta có $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\frac{n^2-2n}{3}}{n^2}= \frac{1}{3}$ nên $C\geq \frac{1}{3}$.

Đánh số các hàng, cột từ $1$ đến $n$. Cột nào có số chia $3$ dư $2$ chọn các ô thuộc hàng chẵn, cột nào có số chia hết cho $3$ chọn các ô thuộc hàng lẻ.