SuPeR NaM

bạn có thể vẽ hình được không , cảm ơn bạn nhiều

Cho hình chữ nhật ABCD.

a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn ; xác định tâm và bán kính của đường tròn ấy.

b) Cho AB=2,5cm; BC=6cm. Tính bán kính đườn tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D.

Bài này bthg mà bạn !!

a) Gọi M là giao điểm của AC và BD 

Vì ABCD là hình chữ nhật => AM=BM=CM=DM 

=> A,B,C,D cùng nằm trên đường tròn (M,$\frac{AC}{2}$)

b) Vì ABCD là hình chữ nhật => $\widehat{ABC}$=$90^{\circ}$

=> Tam giác ABC vuông tại B

Xét tam giác ABC vuông tại B có $AB^2+BC^2=AC^2$ (Theo đl PyTaGo)

Mà AB=2.5cm, BC=6cm

=> AC=6.5cm

Lại có AC là đường kính đường tròn (M) (C/m câu a)

=> Bán kính đường tròn (M) = 3.25cm

Cho a,b,c >0 

+> C/m rằng $\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}\geq2$  với a+b+c=6

+> C/m rằng $\frac{a}{\sqrt{8c^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{8a^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{8b^3+1}}\geq1$ với abc=1

Giải phương trình: $5x^{2}-6x+2+(5x-6)\sqrt{x^{2}+1}=0$

Ta có $5x^2-6x+2+(5x-6)\sqrt{x^2+1}=(5x-6)(x+\sqrt{x^2+1})+2$

$<=> \frac{5x-6}{x-\sqrt{x^2+1}}=2$

$<=> 5x-6=2x-2\sqrt{x^2+1}$

$<=>  6-3x=2\sqrt{x^2+1}$

$<=> 5x^2-36x+32=0$ và $x\leq 2$

Có $\Delta'=164=>\sqrt{\Delta '}=2\sqrt{41}$

$=>$ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 

x1=$\frac{18+2\sqrt{41}}{5}$(Loại) 

x2=$\frac{18-2\sqrt{41}}{5}$(T/mãn)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=$\frac{18-2\sqrt{41}}{5}$

 

CMR: với a, b, c > 0 thì:

$\frac{{a^2 }}{{b^2  + c^2 }} + \frac{{b^2 }}{{c^2  + a^2 }} + \frac{{c^2 }}{{a^2  + b^2 }} \ge \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}}$

 

 

 

Áp dụng BĐT $\LARGE \frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}\geq \frac{(x+y)^2}{m+n}$ ta có

$\LARGE \LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{2bc}\geq \frac{4a^2}{(b+c)^2}$

C/m tương tự $\LARGE =>$ $\LARGE \frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{b^2}{2ca}\geq \frac{4b^2}{(c+a)^2}$

 $\LARGE \frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{2ab}\geq \frac{4c^2}{(a+b)^2}$

$\LARGE =>$ $\LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\geq \frac{4a^2}{(b+c)^2}+\frac{4b^2}{(a+c)^2}+ \frac{4c^2}{(a+b)^2} (1)$

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta được

 $\LARGE \frac{4a^2}{(b+c)^2}+1\geq \frac{4a}{b+c}$

C/m tương tự $\LARGE =>$$\LARGE \frac{4b^2}{(c+a)^2}+1\geq \frac{4b}{c+a}$

$\LARGE \frac{4c^2}{(a+b)^2}+1\geq \frac{4c}{a+b}$

$\LARGE =>$ $\LARGE \frac{4a^2}{(b+c)^2}+\frac{4b^2}{(c+a)^2}+\frac{4c^2}{(a+b)^2}\geq \frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}-3 (2)$

Từ (1) và (2) $\LARGE =>$ $\LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}-3-\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc} (3)$

Lại có  

$\LARGE a^3+b^3+c^3\geq 3abc$ ( BĐT Cauchy)

=> $\LARGE -\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\leq -\frac{3}{2}$

$\LARGE =>$$\LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}-\frac{9}{2}$

Mà $\LARGE \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$ (Nếu bạn chưa c/m được thì ib cho mình nhé   )

$\LARGE =>$ $\LARGE \frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}-\frac{9}{2}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} (4)$

Từ (3) và (4) $\LARGE =>$ $\LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c 

Chỗ đó hình như sai dấu bằng rồi ạ

Thì dấu "=" thay vào không thỏa mãn thôi   

Cảm ơn         

Cho a,b,c >0 .CMR $a^3+b^3+c^3 \geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ca}+c^2\sqrt{ab}$

Cho a,b,c >0 và $a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=1$. Tìm min của $a^7+b^7+c^7$

Cho a,b,c>0 và abc=1. Tìm min của $\frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}+\frac{a+b}{c^2}$

Cho x,y,z  >0 thỏa mãn $x^{3} +y^3+z^3 =1$ . CMR $\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}} > 2$

Cho x,y,z >0 thỏa mãn x + 2y + 4z = 12.Tìm min của $\frac{2xy}{x+2y}+\frac{8yz}{2y+4z}+\frac{4xz}{4z+x}$