Dark Repulsor

gt $\Rightarrow \sum \dfrac{1}{a+1}=1$.  $\exists$ $x,y,z>0$ sao cho $a=\dfrac{y+z}{x}$. Tương tự với $b,c$

Đề bài sai. Sửa lại là $\sum a\geq 4\sum \dfrac{1}{a}$. Đây là $1$ bđt quen thuộc

Một cách khác cho ý $2$:

Gọi $K$ là trung điểm của $AM$. Kẻ đường kính $HL$ của $(AM) \Rightarrow AL\parallel BC \Rightarrow A(LM,BC)=-1 \Rightarrow A(LM,RS)=-1 \Rightarrow H(LM,RS)=-1 \Rightarrow H(TG,RS)=-1$ với $RS\cap BC=G \Rightarrow (TG,RS)=-1 \Rightarrow AT,BS,CR$ đồng quy theo tinh chất hàng điều hòa của tứ giác toàn phần $RSCBAG$

Nếu $f(x)$ ko có nghiệm thì hiển nhiên ta có đpcm. Nếu $f(x)$ có nghiệm thì hiển nhiên phải có $2$ nghiệm, giả sử $x_{0}$ là nghiệm nguyên

Từ gt ta có: $f(0)=c$ lẻ; $f(1)=a+b+c$ lẻ $\Rightarrow a+b$ chẵn $\Rightarrow a,b$ cùng tính chẵn, lẻ

Viết lại $f(x)=\left(x-x_{0}\right)\left(ax-k\right)=ax^{2}-\left(ax_{0}+k\right)x+x_{0}k$  $(k\in \mathbb{Z})$

Đồng nhất hệ số: $x_{0}+k=c$ lẻ $\Rightarrow x_{0}$ và $k$ đều lẻ; $ax_{0}+k=-b$

Nếu $a$ lẻ $\Rightarrow b$ lẻ $\Rightarrow ax_{0}+k$ chẵn dẫn đến đẳng thức trên vô lý. Tương tự nếu $a$ chẵn. Từ đó ta có đpcm

Lời giải bài $\boxed{7}$:

$a$)  Gọi $M,N$ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ $B$ đến $AC$ và từ $C$ đến $AB$

Ta có: $AD^{2}=AE^{2}=\overline{AM}.\overline{AC}=\overline{AN}.\overline{AB}=AF^{2}=AG^{2} \Rightarrow AD=AE=AF=AG \Rightarrow 4$ điểm $D,E,F,G$ cùng thuộc đường tròn tâm $A$

Dễ thấy $ADCE$ là tứ giác điều hòa $\Rightarrow H(AC,DE)=-1 \Rightarrow (BK,DE)=-1$. Chứng minh tương tự $(CK,FG)=-1$

Suy ra $BC,DG,DE$ đồng quy tại $P$ (định nghĩa lại điểm $P$) và $BC,DF,GE$ đồng quy tại $Q$. Ta cần chứng minh $P\in (HDF)$ và $P\in (HGE)$

Điều này đúng vì $4$ điểm $D,E,F,G$ cùng thuộc đường tròn tâm $A$ nên hình chiếu của $A$ trên $PQ$ hay $BC$ là $H$ là điểm Miquel của tứ giác toàn phần $DFEGPQ$

$b$)  Áp dụng định lý Desargue cho $\Delta BCK$ và $\Delta FDP$ với $\overline{Q,G,E}$ ta có $BF,CD,PK$ đồng quy

$a$)  $\Delta IBE=\Delta ICF$ (c.g.c) $\Rightarrow$ đpcm

$b$)  $AD$ cắt lại đường tròn $(O)$ tại điểm thứ $2$ là $L$. Dễ thấy $ID$ là đường kính của $(J)$ và $IL$ là đường kính của $(O)$

$IB^{2}=IM.IL=IE.IL \Rightarrow \dfrac{IE}{IB}=\dfrac{IB}{IL}=\cos\dfrac{A}{2}=\dfrac{IE}{ID} \Rightarrow IB=ID$

$\Rightarrow \overline{IJ}.\overline{ID}=\dfrac{ID^{2}}{2}=\dfrac{IB^{2}}{2}=\dfrac{\overline{IM}.\overline{IL}}{2}=\overline{IO}.\overline{IM} \Rightarrow$ đpcm