Đến nội dung

Nam Antoneus

Nam Antoneus

Đăng ký: 25-08-2016
Offline Đăng nhập: 21-07-2021 - 17:01
*----

#677455 :$44(xy+yz+xz) \leq (3x+4y+5z)^2$

Gửi bởi Nam Antoneus trong 15-04-2017 - 12:57

$(3x+4y+5z)^2-44(xy+yz+zx)=9x^2-20xy+16y^2-4yz+25z^2-14zx$

$=(\frac{20}{3}x^2-20xy+15y^2)+(y^2-4yz+4z^2)+(21z^2-14zx+\frac{7}{3}x^2)$

$=\frac{5}{3}(2x-3y)^2+(y-2z)^2+\frac{7}{3}(3z-1)^2\geqslant 0$

$\Rightarrow (3x+4y+5z)^2\geqslant 44(xy+yz+zx)$

Dấu "=" xảy ra khi $x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{3},z=\frac{1}{6}$




#662300 $\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^2-14x-8=0$

Gửi bởi Nam Antoneus trong 18-11-2016 - 10:15

Đoán được x = 5 (thay vào $\sqrt{3x+1};\sqrt{6-x}$ ra số nguyên và t/m PT)

Từ đó ta sử dụng PP liên hợp:

$(\sqrt{3x+1}-4)-(\sqrt{6-x}-1)+3x^2-14x-5=0$

$\Leftrightarrow \frac{3x-15}{\sqrt{3x+1}+4}-\frac{5-x}{\sqrt{6-x}+1}+(3x+1)(x-5)=0$

$\Leftrightarrow (x-5)(\frac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{1}{\sqrt{6-x}+1}+3x+1)=0$

$\Rightarrow x=5$ còn $\frac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{1}{\sqrt{6-x}+1}+3x+1>0$ nên vô nghiệm.

Đối với những dạng bài này thì chỉ có cách đoán nghiệm và dùng liên hợp, dùng MTBT trong TH nghiệm xấu.




#661622 Cho $0\leq x,y,z\leq 1$.CMR $1+x^{2}y+y^...

Gửi bởi Nam Antoneus trong 12-11-2016 - 11:19

Do $x,y\in [0;1]$ nên $x(x-1)(y-1)\geqslant 0\Leftrightarrow x^2y\geqslant x^2+xy-x$ (1)

Tương tự: $y^2z\geqslant y^2+yz-y$ (2) ; $z^2x\geqslant z^2+zx-z$ (3)

Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế: $x^2y+y^2z+z^2x\geq x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx-x-y-z$ (*)

Cần chứng minh: $1\geqslant x+y+z-xy-yz-zx$ (**)

Thật vậy: $(1-x)(1-y)(1-z)\geqslant 0$ (do $x,y,z\in [0;1]$) 

$\Leftrightarrow 1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz\geqslant 0\Leftrightarrow x+y+z-xy-yz-zx\leqslant 1-xyz\leqslant 1$ (do $x,y,z\geqslant 0$)

Cộng (*) với (**) vế theo vế ta sẽ có ĐPCM.




#661396 cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=8 tìm min P =1/∛(a...

Gửi bởi Nam Antoneus trong 10-11-2016 - 20:30

đầu tiên ta có : $\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\geq \frac{3}{a+b+c}$

sau đó ta áp dụng bất đẳng thức sau $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$ có

Mình nhớ BĐT này cần điều kiện $x,y\geqslant 1$ mà




#661131 Tìm Min $3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8...

Gửi bởi Nam Antoneus trong 08-11-2016 - 17:56

Đoán được GTNN xảy ra khi x=2; y=4

$3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}=(\frac{3x}{2}+\frac{6}{x})+(\frac{y}{2}+\frac{8}{y})+\frac{3}{2}(x+y)\geqslant 2.3+2.2+\frac{3}{2}.6=19$




#661007 $\sum \frac{a}{4b^2+1}\geq (a\sq...

Gửi bởi Nam Antoneus trong 07-11-2016 - 19:39

Bài này có trong cuốn Sáng tạo BĐT của Phạm Kim Hùng.

$\sum \frac{a}{4b^2+1}=\sum \frac{a^3}{4a^2b^2+a^2}\geq \frac{(\sum a\sqrt{a})^2}{\sum a^2+\sum 4a^2b^2}$

Cần chứng minh $\sum a^2+\sum 4a^2b^2\leqslant 1=(a+b+c)^2\Leftrightarrow ab(1-4ab)+bc(1-4bc)+ca(1-4ca)\geqslant 0$ (1)

$a>0\Rightarrow b+c<1\Rightarrow 4bc\leqslant (b+c)^2<1\Leftrightarrow bc< \frac{1}{4}$

Tương tự: $ab,ca< \frac{1}{4}$

=> (1) đúng => ĐPCM

Dấu = xảy ra khi (a,b,c) là hoán vị của (1;0;0)




#660404 Tính $\frac{BC}{BI}$

Gửi bởi Nam Antoneus trong 03-11-2016 - 08:32

Không có một cái vectơ nào luôn  :biggrin:  Nhưng cảm ơn bạn nha  :)




#660374 Tính $\frac{BC}{BI}$

Gửi bởi Nam Antoneus trong 02-11-2016 - 21:32

Cho hình bình hành ABCD có hai điểm M, N thoả mãn $\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{CN},\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AM}$. Gọi G là trọng tâm tam giác MNB, I là giao điểm của $\overrightarrow{AG},\overrightarrow{BC}$. Tính $\frac{BC}{BI}$.




#659946 $ y=ax+b$ là hàm số lẻ.

Gửi bởi Nam Antoneus trong 30-10-2016 - 12:58

a. $y=ax+b$ là hàm số lẻ khi $f(-x)=-f(x)\Rightarrow a.(-x)+b=-(ax+b)\Leftrightarrow a\in \mathbb{R};b=0$

b. $y=ax^{2}+bx+c$ là hàm số chẵn khi $f(-x)=f(x)\Rightarrow a.(-x)^{2}+b.(-x)+c=ax^{2}+bx+c\Leftrightarrow a\in \mathbb{R};b=0;c\in \mathbb{R}$




#659944 chứng minh bất đẳng thức

Gửi bởi Nam Antoneus trong 30-10-2016 - 11:51

Lần sau gõ bằng LaTex cho dễ nhìn bạn nhé...

Sử dụng BĐT Holder: 

$27(a^{4}+b^{4}+c^{4})=(1+1+1)(1+1+1)(1+1+1)(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geq (a+b+c)^{4}$ (Đ.P.C.M)




#658889 $A=sin^{6}\alpha +cos^{6}\alpha-2sin^...

Gửi bởi Nam Antoneus trong 23-10-2016 - 11:03

Đặt $a=sin^{2}\alpha ;b=cos^{2}\alpha$ $\Rightarrow a+b=1 \Rightarrow b=1-a$

Ta có: $A=a^3+b^3-2a^2-b^2+a=a^3+(1-a)^3-2a^2-(1-a)^2+a=0$

Vậy BT trên không phụ thuộc vào $\alpha$




#658878 GPT: $\sqrt{3-2x^2}+\sqrt{3-\frac{2...

Gửi bởi Nam Antoneus trong 23-10-2016 - 10:04

$VT\leqslant \sqrt{2(6-2x^{2}-\frac{2}{x^{2}})}\leqslant \sqrt{2(6-4)}=2$

$VP\geqslant 2(\frac{x^{2}+4x+1}{2x})^{2}$

Ta có $(x+1)^{2}\geqslant 0\Leftrightarrow x^{2}+4x+1\geqslant 2x$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}+4x+1}{2x}\geqslant 1$ hoặc $\frac{x^{2}+4x+1}{2x}\leqslant -1$

$(\frac{x^{2}+4x+1}{2x})^{2}\geq 1\Leftrightarrow VP\geqslant 2$

$\Rightarrow VT\leqslant VP$

Dấu = xảy ra khi $x=-1$




#658604 Giai va bien luan pt $x+\sqrt{a+\sqrt{x}}=...

Gửi bởi Nam Antoneus trong 20-10-2016 - 21:07

Đặt $y=a+\sqrt{x}$

$\Rightarrow x+\sqrt{y}=a \wedge y-\sqrt{x}=a$

Trừ vế theo vế: $(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y}+1)=0$

Bạn tự giải tiếp nhé...




#657498 GPT: $\sqrt[3]{x+6}+\sqrt{x-1}=x^{2...

Gửi bởi Nam Antoneus trong 11-10-2016 - 07:59

13. $(7+5\sqrt{2})^{cosx}-(17+12\sqrt{2})^{cos^{3}x}=cos3x$

$\Leftrightarrow (1+\sqrt{2})^{3cosx}-(3+\sqrt{2})^{2cos^{3}x}=cos3x$

$\Leftrightarrow (1+\sqrt{2})^{4cos^{3}x}.(1+\sqrt{2})^{-cos3x}-(3+\sqrt{2})^{2cos^{3}x}=cos3x$

$\Leftrightarrow (1+\sqrt{2})^{-cos3x}-1=cos3x$

- Với $-1\leqslant cos3x< 0$: VT > 0 và VP < 0

- Với $0< cos3x \leqslant 1$: VT < 0 và VP > 0

- Với $cos3x=0$: VT=VP=0




#657032 $\frac{x+\sqrt{x+3}+\sqrt{x+8}...

Gửi bởi Nam Antoneus trong 07-10-2016 - 20:36

Bạn nhầm nha :closedeyes:, mình kém đến nỗi cách này cũng không nghĩ ra (thật đấy :( )

Vậy à  :lol: mình cũng đoán thế thôi