Đến nội dung

ILoveMath4864

ILoveMath4864

Đăng ký: 30-08-2016
Offline Đăng nhập: 10-07-2018 - 22:13
-----

#674008 Cho x, y, z >0 và x.y.z=1. Tìm GTNN của: $\frac{x^{3...

Gửi bởi ILoveMath4864 trong 11-03-2017 - 22:13

1. Cho x, y, z >0 và x.y.z=1. Tìm GTNN của:

B=$\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{x+y+z}$

2. CHo a, b, c >0 thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh:

$\frac{ab+c}{c+1}+\frac{bc+a}{a+1}+\frac{ca+b}{b+1}\leq 1$

3. Tìm GTNN của biểu thức:

$E=\frac{a^{4}}{(b-1)^{3}}+\frac{b^{4}}{(a-1)^{3}}$

4. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3. Hãy tìm GTNN của:

$\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}+\frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2b+c+a}}+\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{2c+a+b}}$




#673768 Chứng minh $\sum \frac{a}{b^{2}+c^...

Gửi bởi ILoveMath4864 trong 08-03-2017 - 23:10

Những ai có thể giải được thì post lên chia sẻ nhé!

1. Cho a, b, c >0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

2. Cho a, b, c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=1. chứng minh 

$P=\frac{2a}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^{2}}}\leq \frac{9}{4}$

 

3. Cho a, b, c >0 thỏa mãn $a+b+c=\frac{3}{4}$ . Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}$

 

4. Cho a, b, c >0 thỏa mãn abc=1. chứng minh:

$P=\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

 

5. Cho a, b, c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=abc. chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{a^{2}+2c^{2}}}{ac}+\frac{\sqrt{c^{2}+2b^{2}}}{cb}+\frac{\sqrt{b^{2}+2a^{2}}}{ba}\geq \sqrt{3}$

 

6. Cho a, b, c >0 , abc=1. chứng minh:

$2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 7(a+b+c)-3$

 

7. Cho a, b, c >0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ . Tìm GTNN của biểu thức:

$\frac{a^{3}}{\sqrt{b^{2}+3}}+\frac{b^{3}}{\sqrt{c^{2}+3}}+\frac{c^{3}}{\sqrt{a^{2}+3}}$

 

8. Cho a, b >0 và a+b=2.  tìm GTNN của 

$T=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+3}+\frac{1}{2ab}$

 

9. Cho a, b, c >0 vaf a+b+c=1. chứng minh:

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geq 30$

 

10. Cho a, b, c>0. chứng minh:

$\frac{a^{3}}{b(c+a)}+\frac{b^{3}}{c(a+b)}+\frac{c^{3}}{a(b+c)}\geq \frac{a+b+c}{2}$

 

11. Cho a, b, c >0 và abc=1. chứng minh rằng:

$\frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^{3}}{(1+c)(1+a)}+\frac{c^{3}}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$




#671365 Min $P=\frac{(1+a)^{2}(1+b)^{2}}...

Gửi bởi ILoveMath4864 trong 12-02-2017 - 21:47

mình chưa hiểu lắm, sao nhận ra lại đc thế. thế 1+ab đâu ạ? bạn gt hộ mình với!!!

 

 

$(1+a)^2(1+b)^2\geq 4(a+b)(1+ab)=4a+4b+4a^2b+4ab^2=4a(1+b^2)+4b(1+a^2)$ bạn à

 

bạn viet9a14124869 giải thích đúng rồi đấy


#671188 Min $P=\frac{(1+a)^{2}(1+b)^{2}}...

Gửi bởi ILoveMath4864 trong 11-02-2017 - 23:00

Mình cũng đã có lời giải cho bài toán này:

Ta có: $(1+a)^{2}(1+b)^{2}=(1+a+b+ab)^{2}\geq 4(1+ab)(a+b)$ (theo bất đẳng thức quen thuộc $(a+b)^{2}\geq 4ab$ )

Mà $4(1+ab)(a+b)=4a+4b+4a^{2}b+4ab^{2}=4a(1+b^{2})+4b(1+a^{2})$

=> $\frac{(1+a)^{2}(1+b)^{2}}{1+c^{2}}\geq 4a.\frac{1+b^{2}}{1+c^{2}}+4b.\frac{1+a^{2}}{1+c^{2}}$

Chứng minh tương tự với 2 hạng tử còn lại rồi công theo vế ta có:

$P\geq 4a(\frac{1+b^{2}}{1+c^{2}}+\frac{1+c^{2}}{1+b^{2}})+4b.(\frac{1+a^{2}}{1+c^{2}}+\frac{1+c^{2}}{1+a^{2}})+4c.(\frac{1+a^{2}}{1+b^{2}}+\frac{1+b^{2}}{1+a^{2}})$

Đến đây áp dụng bđt Cô- Si thì $P\geq 8a+8b+8c$

suy ra ĐpCM

   :blush:  :blush:  :blush:  :icon10:  :icon10:  :icon10:




#671177 $\left\{\begin{matrix} x^{2}(y+1...

Gửi bởi ILoveMath4864 trong 11-02-2017 - 22:35

Không biết còn ai xem topic này nữa không nhưng mình đã có cách giải bài toán này.

Cách giải như sau:

+) Xét $x=y=z=0$ là 1 nghiệm của hệ

+) Xét $x, y, z\neq 0$ , khi đó gọi 3 pt lần lượt là (1), (2), (3) . Chia 2 vế của (1), (2), (3) lần lượt cho $x^{2}y, y^{2}z, z^{2}x$ Ta có hệ mới:

                                            $\left\{\begin{matrix} 1+\frac{1}{y}=\frac{1}{x^{2}} & \\ 1+\frac{1}{z}=\frac{1}{y^{2}} & \\ 1+\frac{1}{x}=\frac{1}{z^{2}} & \end{matrix}\right.$

 

Đặt $\frac{1}{x}=a , \frac{1}{y}=b, \frac{1}{z}=c$ có hệ mới:

                                             $\left\{\begin{matrix} 1+b=a^{2} & (3)\\ 1+c=b^{2} & (4)\\ 1+a=c^{2} & (5) \end{matrix}\right.$

Ta thấy :  Nếu a, b, c thỏa mãn hệ trên mà trong 3 số đó có 1 số dương, giả sử số đó là a. Từ (5) suy ra được $c^{2}> 1$

Lại có từ (4) suy ra $c> -1$ nên $c> 1$

$c> 1$ kết hợp với (2) suy ra $b^{2}> 2$ nên $b> \sqrt{2}$ hoặc $b< -\sqrt{2}$

Nếu $b< -\sqrt{2}$ thì $1+b< 0 = > a^{2}< 0$ vô lí

=> $b> \sqrt{2}$

=> cả 3 số a, b, c dương. tương tự ta cũng chứng minh được 3 số cùng âm

vậy nếu 3 số a, b, c thỏa mãn hệ thì 3 số phải cùng âm hoặc cùng dương.

Đến đây xét 2 trường hợp:

TH1:  $a,b,c> 0$ . Giả sử $a> b$ suy ra $a^{2}> b^{2}$ => $1+b> 1+c$ => $b> c$ => $b^{2}> c^{2}$ => $1+c> 1+a$ => $c> a$ 

Tương tự có $c< a$ 

2 điều trên suy ra a=c nên cũng suy ra được a=b

thay vào hệ ta có 

                                           $\left\{\begin{matrix} a=b=c> 0\\ 1+a=a^{2} \end{matrix}\right.$

dễ dàng tính được $a=b=c=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

Từ đó suy ra x, y, z

TH2: hoàn toàn tương tự TH1

                           Vậy là kết thúc bài hệ này !! :luoi:  :luoi:  :luoi:  :D  :D  :D




#666189 Tìm giá trị lớn nhất của k để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt

Gửi bởi ILoveMath4864 trong 29-12-2016 - 20:53

Tìm giá trị lớn nhất của k để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:

                                                   $x^{3}-k(x+1)+1=0$




#665291 giải phương trình sau: $2(3x+5)\sqrt{3x+1}-(3x+1)\sqrt{6x+1}=1...

Gửi bởi ILoveMath4864 trong 20-12-2016 - 22:05

vì đây là mình học từ một bản khác, mà mình ko biết cách copy nguyên mẫu link nên chỉ có thể copy như vậy cho bạn thôi. chắc là có nhầm lẫn ở đâu đó!!!

chắc là còn 1 trường hợp nào đó ở trên chẳng hạn, và trường hợp đó suy ra x=0




#661196 chứng minh $\frac{1}{R_{1}^{2}...

Gửi bởi ILoveMath4864 trong 08-11-2016 - 20:47

Vẽ đường trung trực AB cắt BD tại M, cắt AC tại K, cắt BD tại I

$\Delta MBI \sim \Delta OAB(g.g)$ 

$\Rightarrow \frac{IB}{AB}=\frac{MB}{OB}\Rightarrow \frac{R_{1}}{1}=\frac{1}{2.OB}\Rightarrow \frac{1}{R_{1}^{2}}=4.OB^{2}$

Tương tự: 

$\frac{1}{R_{2}^{2}}=4.OA^{2}$

Cộng vế theo vế suy ra điều phải chứng minh

cách giải rất hay, cảm ơn bạn




#657782 chứng minh G di động trên 1 đường tròn cố định

Gửi bởi ILoveMath4864 trong 13-10-2016 - 21:57

Gọi I là trung điểm BC. Lấy điểm H trên OI sao cho $\frac{OH}{OI}=\frac{2}{3}$$\Rightarrow$ H cố định

Ta có: $\frac{IG}{GA}=\frac{IH}{HO}=\frac{1}{2}\Rightarrow GH\parallel OA\Rightarrow GH=\frac{1}{3}OA$$=\frac{1}{3}R$: không đổi

Vậy G di động trên $(H;\frac{1}{3}R)$

cảm ơn bạn rất nhiều, mình đang cần bài này gấp!




#657542 Chứng minh rằng: $GF//AC$.

Gửi bởi ILoveMath4864 trong 11-10-2016 - 20:46

kéo dài DG cắt AC ở H

ta có EF song song DB nên $\frac{EF}{BD}=\frac{CF}{DC}$ (định lí ta lét)

         HF song song AD nên $\frac{HF}{AD}=\frac{FC}{DC}$ (định lí ta lét)

 suy ra $\frac{EF}{BD}=\frac{HF}{AD}$ suy ra $\frac{EF}{HF}=\frac{BD}{AD}$

lại có DG song song với BE nên $\frac{BD}{AD}=\frac{EG}{AG}$

suy ra $\frac{EG}{AG}=\frac{EF}{HF}$

vậy GF song song với AH hay GF song song với AC theo định lí ta lét đảo (đpcm)




#656933 $4x^{2}+10x+9=5\sqrt{2x^{2}+5x+3}$

Gửi bởi ILoveMath4864 trong 06-10-2016 - 21:46

$pt\Leftrightarrow 2(2x^{2}+5x+3)+3=5\sqrt{2x^{2}+5x+3}$

Đặt$t=\sqrt{2x^{2}+5x+3}$ Với ( $t\geq 0$ )

$pt \Leftrightarrow 2t^{2}-5t+3=0$

cảm ơn bạn, cách làm rất hay




#654336 chứng minh rằng $abc\leq \frac{(a+b+c)^{3}...

Gửi bởi ILoveMath4864 trong 15-09-2016 - 22:12

cho a+b+c=1. chứng minh rằng $abc\leq \frac{(a+b+c)^{3}}{27}$




#654300 $S=\frac{a^{3}}{b+c}+\frac{...

Gửi bởi ILoveMath4864 trong 15-09-2016 - 20:18

cho a,b,c >0 thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 1$ . chứng minh $S=\frac{a^{3}}{b+c}+\frac{b^{3}}{c+a}+\frac{c^{3}}{a+b}\geq \frac{1}{2}$




#654064 $5^{n}(5^{n}+1)-6^{n}(3^{n}+2^...

Gửi bởi ILoveMath4864 trong 13-09-2016 - 22:06

chứng minh rằng $5^{n}(5^{n}+1)-6^{n}(3^{n}+2^{n})\vdots 91$ với n là số tự nhiiên




#653932 min $P=3a+2b+c+\frac{8}{a}+\frac{6...

Gửi bởi ILoveMath4864 trong 12-09-2016 - 21:40

cho a, b, c thỏa mãn $a^{2}+2b^{2}+3c^{2}=3abc$. tìm min $P=3a+2b+c+\frac{8}{a}+\frac{6}{b}+\frac{4}{c}$