Basara

$\int_{0}^{\pi} \frac{x.sin(x)}{1+2cos(x)^2}dx$

$\int_{0}^{\pi} \frac{x.sin(x)}{1+2cos(x)^2}dx$ 

Em sửa lại đề xong rồi anh giúp em với

Ta có $$(1+x^2)^{\cot^2 x} = e^{\cot^2 x \ln{(1+x^2)}}.$$

 

Hơn nữa, 

$$\lim_{x\to0}\cot^2 x \ln{(1+x^2)}= \lim_{x\to0}\cos^2 x \frac{\ln{(1+x^2)}}{x^2}\frac{1}{\frac{\sin^2x}{x^2}}=1. $$

 

Suy ra $$\lim_{x\to0} (1+x^2)^{\cot^2 x} =e.$$

em cảm ơn. Anh giúp em bài này nữa với https://diendantoanh...acxsinx12cosx2/

Đó không phải là một câu hỏi !

 

 

Nếu $x$ là một nghiệm của phương trình thì $5^x>4^x$. Do đó $x>0.$

Phương trình tương đương $\left(\frac{5}{3}\right)^x-\left(\frac{4}{3}\right)^x-1=0.$

Ta xét hàm số $f(x)=\left(\frac{5}{3}\right)^x-\left(\frac{4}{3}\right)^x-1$ với $x>0.$

Ta có $f'(x)= \left(\frac{5}{3}\right)^x\ln \frac{5}{3}-\left(\frac{4}{3}\right)^x\ln \frac{4}{3}\ge \left(\frac{5}{3}\right)^x\ln \frac{4}{3}-\left(\frac{4}{3}\right)^x\ln \frac{4}{3}\ge 0 \forall x\ge 0.$

"Do đó" phương trình $f(x)=0$ không quá một nghiệm. Mặt khác $f(2)=0.$ Suy ra $x=2$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

cơ mà mình k hiểu tại sao  $5^x>4^x$ 

Giờ... chia $4^x$ trước có được không nhỉ ?

chia $4^x$ vẫn đc mà 

Chia cả 2 vế của phương trình cho $5^x\neq 0$ ta được phương trình tương đương:
$$PT\Leftrightarrow (\frac{3}{5})^x+(\frac{4}{5})^x=1$$

+) Nếu $x= 0$ thì $2= 1$ (vô lí!)

+) Nếu $x= 2$ thì $(\frac{3}{5})^2+(\frac{4}{5})^2=1$ (đúng)

+) Nếu $x>2$ thì $(\frac{3}{5})^x<\frac{9}{25};(\frac{4}{5})^x<\frac{16}{25}\Rightarrow VT<1$ (loại)

+) Tương tự với trường hợp x< 2

Vậy nghiệm của phương trình là $x= 2$

cảm ơn bạn, nhưng đề mình đặt ra là giải bằng cách chia cho $3^x$