Đến nội dung

NTMFlashNo1

NTMFlashNo1

Đăng ký: 01-10-2016
Offline Đăng nhập: 14-01-2019 - 18:48
****-

#687582 Chứng minh BK=CD.

Gửi bởi NTMFlashNo1 trong 15-07-2017 - 10:50

Cho tam giác ABC đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC tại D, L đối xứng với D qua I. AL cắt BC tại K. Chứng minh BK=CD

Bài trên có thể viết lại như sau:

Cho $\triangle ABC$,$D,E$ là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp $(I)$ và bàng tiếp $(J)$ góc $A$ với $BC$.$ID\cap (I)\equiv K$. Chứng minh: $A,K,E$ thẳng hàng.

 

Dễ thấy $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(I),(J)$ nên $A$ là tâm vị tự ngoài của phép vị tự hai đường tròn trên.Ta có: $E,D$ đối xứng với nhau. Do đó, 2 điểm này tương ứng là hai điểm vị tự đường tròn $(I),(J)$.Theo phép vị tự tâm $A$ thì $A,K,E$ thẳng hàng.




#684315 $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a...

Gửi bởi NTMFlashNo1 trong 13-06-2017 - 10:23

Cho $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\geq 0$ sao cho $a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=1$.
Chứng minh:
$(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{n}^{2}+1)\geq (\frac{n^{2}+1}{n^{2}})^{n}$


#684053 \[x^2 - \lfloor x^2 \rfloor = \left(x - \lfloor x...

Gửi bởi NTMFlashNo1 trong 11-06-2017 - 11:12

Cho $x_1 < x_2 < x_3 < \cdots$ Là các số lớn hơn hoặc bằng 1 thoả mãn:
\[x^2 - \lfloor x^2 \rfloor = \left(x - \lfloor x \rfloor \right)^2.\]
Và $x_{2017}$ viết được dưới dạng $\frac{m}{n}$ với $(m,n)=1$
Tính $A=m+n$


#683991 \[ x_1^{13}y_1 + \cdots + x_n^{13}y_n < x_1...

Gửi bởi NTMFlashNo1 trong 10-06-2017 - 22:46

Cho $-1 < x_1 < x_2 , \cdots < x_n < 1$ và $x_1^{13} + x_2^{13} + \cdots + x_n^{13} = x_1 + x_2 + \cdots + x_n$.

Chứng minh nếu $y_1 < y_2 < \cdots < y_n$ thì:

\[ x_1^{13}y_1 + \cdots + x_n^{13}y_n < x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n. \]




#683864 $\frac{3}{4}\leq \sqrt{x}+y...

Gửi bởi NTMFlashNo1 trong 09-06-2017 - 22:53

Cho $x,y,z\geq 0$ thỏa mãn: $x+y+z+xyz=1$.Chứng minh:

 

$\frac{3}{4}\leq \sqrt{x}+y+z^{2}\leq \frac{5}{4}$




#683858 Đề thi vào 10 chuyên Nguyễn Tất Thành Kon Tum 2017-2018

Gửi bởi NTMFlashNo1 trong 09-06-2017 - 22:11

     UBND TỈNH KON TUM                                                                           TUYỂN SINH VÀO 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                              TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH

                                                     NĂM HỌC:2017-2018

                                                     MÔN:TOÁN CHUYÊN 

                                            NGÀY: 6/9/2017

                                 TIME:150'

 

 

Câu 1:(2 điểm)

a) Giải phương trình:

 

$x^{4}-3x^{2}+\frac{1}{x^{4}}-\frac{3}{x^{2}}-2=0$

 

b) Giải hệ:

 

$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{y}+y\sqrt{x} &=6 \\ x^{2}y+xy^{2} &=20 \end{matrix}\right.$

 

Câu 2:(2 điểm) Cho:

 

$M=\frac{y}{\sqrt{xy}-x}+\frac{x}{\sqrt{xy}+y}-\frac{x+y}{\sqrt{xy}}\left ( x>y>0 \right )$

 

a) Rút gọn $M$

b) Tìm $Min$:

 

$N=x^{2}-\frac{M}{y\left ( x+y \right )}\left ( x>y>0 \right )$

 

Câu 3:(1 điểm)

Xét 2020 số thực $x_{1},x_{2},...,x_{2020}$ nhận 1 trong 2 giá trị $2-\sqrt{3}$ hoặc $2+\sqrt{3}$.

Hỏi $\sum_{k=1}^{1010}x_{2k-1}.x_{2k}$ nhận bao nhiêu giá trị nguyên khác nhau.

 

Câu 4:(3 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ và $A$ trên nửa đường tròn.Đường cao $AH$.Trên nửa mặt phẳng bờ $BC$ chứa $A$, vẽ nửa đường tròn $\left ( O_{1},R_{1} \right )$ đường kính $HB$ và nửa đường tròn $\left ( O_{2},R_{2} \right )$ đường kính $HC$ cắt $AB,AC$ tại $E,F$.$M$ là giao của các tiếp tuyến tại $A,B$ của $(O)$.

 

a) Chứng minh: $BEFC$ nội tiếp.

b) $MC,AH,EF$ đồng quy

c) $(I,r)$ là đường tròn tiếp xúc ngoài $(O_{1}),(O_{2})$ và tiếp xúc vói $EF$ tại $D$.Chứng minh:

 

$\frac{1}{\sqrt{r}}=\frac{1}{\sqrt{R_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{R_{2}}}$

 

Câu 5:(1 điểm) Cho hàm $y=f(x)=x^{2}+mx+m-13$.$x_{1},x_{2}$ là 2 nghiệm phân biệt của $f(x)=0$ với $m>13$.Tìm $m$ thỏa mãn:

$\left | x_{1} \right |f\left ( x_{2}-m \right )+\left | x_{2} \right |f\left ( x_{1}-m \right )=104$

 

Câu 6:(1 điểm) Với $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$ Tìm max:

 

$P=6\left ( ab+bc+ca \right )+a\left ( a-b \right )^{2}+b\left ( b-c \right )^{2}+c\left ( c-a \right )^{2}$




#683497 từ 1 bài toán quen thuộc -> câu c hay và lạ

Gửi bởi NTMFlashNo1 trong 07-06-2017 - 11:23

Cho đường tròn (O), A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC; kẻ cát tuyến ADE (D nằm giữa A và E). Gọi H là giao điểm AO và BC, qua H vẽ dây MN.CM:a. ABOC nội tiếpb. BD.CE = BE.DCc. Chứng minh AO là phân giác góc MAN

Ta có: $HM.HN=HB.HC=HB^{2}=HA.HO$
Do đó,$AMON$ nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{OAM}=\widehat{MNO}$ (1)
Ta có: $ON^{2}=OC^{2}=OH.OA$
Do đó, $\triangle HNO\sim \triangle NAO (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{OAN}=\widehat{MNO}$ (2)
Từ (1)&(2) ta có đpcm


#683462 3 đường thẳng có đồng quy không?

Gửi bởi NTMFlashNo1 trong 07-06-2017 - 00:48

cho $\triangle ABC$ vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác $\triangle ADC$ vuông cân tại D,$\triangle AKB$ vuông cân tại K ,$\triangle BIC$ vuông cân tại I

hỏi AI,CK,BD có đồng quy không?

Gọi $\left\{\begin{matrix} AI\cap BC &\equiv M \\ BD\cap AC &\equiv N \\ CK\cap AB &\equiv P \end{matrix}\right.$

 

Ta có:

$\frac{MB}{MC}.\frac{NC}{NA}.\frac{PA}{PB}$

 

$=\frac{S_{ABM}}{S_{ACM}}.\frac{S_{BCN}}{S_{BAN}}.\frac{S_{CAP}}{S_{CBP}}$

 

$=\frac{S_{ABI}}{S_{ACI}}.\frac{S_{BCD}}{S_{BAD}}.\frac{S_{CKA}}{S_{CKB}}$

 

$=\frac{S_{ABI}}{S_{CKB}}.\frac{S_{BCD}}{S_{ACI}}.\frac{S_{CKA}}{S_{BAD}}$

 

$=\prod \frac{\frac{1}{2}BA.BIcos\widehat{ABI}}{\frac{1}{2}BK.BCcos\widehat{CBK}}$

( công thức tính diện tích tam giác theo sin góc xen giữa)

 

$=\frac{BA.BI}{BK.BC}.\frac{BC.CD}{AC.CI}.\frac{AK.AC}{AB.AD}=1$

(Theo giả thiết đề bài cho)

Do đó, theo định lý $Ceva$ có $AI,CK,BD$ đồng quy.

 

Tổng quát:

Cho $\triangle ABC$. Dựng ra phía ngoài tam giác các $\triangle BCX,ACY,ABZ$ cân tại $X,Y,Z$.Chứng minh:$AX,BY,CZ$ đồng quy.




#683450 Đề thi chuyên toán tỉnh Thái Bình 2017 - 2018

Gửi bởi NTMFlashNo1 trong 06-06-2017 - 22:48

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                    ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN THÁI BÌNH

             THÁI BÌNH                                                                                               NĂM 2017-2018

                                                                                                                   MÔN THI: TOÁN CHUYÊN

                                            THỜI GIAN: 150'

 

 

 

Câu 1:(2 điểm) 

 

1. Cho $a,b,$ thực.Chứng minh ít nhất 1 trong 2 phương trình sau vô nghiệm:

 

$x^{2}+2ax+2a^{2}-b^{2}+1=0$ (1)

$x^{2}+2bx+3b^{2}-ab=0$ (2)

 

2. Cho $x,y,z$ thực sao cho $\left\{\begin{matrix} x+y+z=0 & \\ xyz\neq 0 & \end{matrix}\right.$

Tính:

$P=\frac{x^{2}}{-x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}-y^{2}+z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}+y^{2}-z^{2}}$

 

Câu 2:(2,5 điểm)

 

1.Giải phương trình:

 

$\sqrt{x^{2}+4x+12}=2x-4+\sqrt{x+1}$

 

2.Giải hệ:

 

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}-4xy\left ( \frac{2}{x-y}-1 \right ) &=4\left ( 4+xy \right ) \\ \sqrt{x-y}+3\sqrt{2y^{3}-y+1} &=2y^{3}-x+3 \end{matrix}\right.$

 

Câu 3:(1 điểm) Tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn:

 

$x^{3}-y^{3}=6xy+3$

 

Câu 4:(3 điểm) Cho $ABCD$ nội tiếp $(O)$.$BA\cap CD\equiv E;AD\cap BC\equiv F$.$M,N$ là trung điểm $AC,BD$.Phân giác trong $\widehat{BEC},\widehat{BFA}$ cắt nhau tại $K$.Chứng minh:

1.$\widehat{DEF}+\widehat{DFE}=\widehat{ABC}$ và $\triangle EKF$ vuông.

2.$EM.BD=EN.AC$

3. $K,M,N$ thẳng hàng.

 

Câu 5:(1,5 điểm)

1.Cho $a,b,c$ thực dương.Chứng minh:

 

$\frac{1}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{1}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{1}{c\sqrt{3c+2a}}\geq \frac{3}{\sqrt{5abc}}$

 

2.Cho 5 số tự nhiên phân biệt sao cho tổng 3 số bất kỳ trong chúng $>$ tổng 2 số còn lại.Chứng minh 5 số đã cho không nhỏ hơn 5.

 

 

 

 

 

 

 

 

P/s: Đề này khá dễ!




#683143 Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội năm 2017-2018 (Không chuyên)

Gửi bởi NTMFlashNo1 trong 04-06-2017 - 22:52

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 NĂM 2017

TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN

 

MÔN:TOÁN CHUNG

THỜI GIAN:120'

 

Câu 1:(3,5 điểm)

 

1.Giải hệ phương trình:

 

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-xy=1 & \\ x+x^{2}y=2y^{3} & \end{matrix}\right.$

 

2.Giải phương trình:

 

$2\left ( x+1 \right )\sqrt{x+1}=\left ( \sqrt{x+1}+\sqrt{1-x} \right )\left ( 2-\sqrt{1-x^{2}} \right )$

 

Câu 2:(2,5 điểm)

 

1.Chứng minh không tồn tại $x,y$ nguyên thỏa mãn:

 

$12x^{2}+26xy+15y^{2}=4617$

 

2.Cho $a,b>0$. Tìm giá trị lớn nhất:

 

$M=\left ( a+b \right )\left ( \frac{1}{a^{3}+b}+\frac{1}{a+b^{3}} \right )-\frac{1}{ab}$

 

Câu 3:(3 điểm) Hình thoi $ABCD$ với $\widehat{BAD}<90^{o}$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp $\triangle ABD$ tiếp xúc $BD,BA$ tại $J,L$. Trên $LJ$ lấy $K$ sao cho $BK\parallel ID$.

 

1.Chứng minh:$\widehat{CBK}=\widehat{ABI}$

2.Chứng minh $KC\bot KB$.

3.Chứng minh: $C,K,I,L$ đồng viên.

 

Câu 4:(1 điểm) Tìm $n\in \mathbb{Z}^{+}$ sao cho tồn tại 1 cách sắp xếp các số $1,2,3,...,n$ thành $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ mà khi chia các số $a_{1},a_{1}a_{2},...,a_{1}a_{2}...a_{n}$ cho $n$ được các số dư đôi 1 khác nhau.

 

 

P/s: Gõ đề này dễ chịu hơn đề Sư Phạm.




#683134 Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Sư Phạm 2017 vòng 1 + vòng 2

Gửi bởi NTMFlashNo1 trong 04-06-2017 - 22:26

     BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG THPT CHUYÊN SƯ PHẠM                                              

 

$\boxed{\text{ ĐỀ CHÍNH THỨC}}$

                                                             

 

ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN 2017

Môn thi:toán (Vòng 1)

(Dùng cho thí sinh thi vào trường chuyên)

Thời gian:120'

 

Câu 1:(2điểm)  Cho biểu thức:

 

$P=\frac{a^{3}-a-2b-\frac{b^{2}}{a}}{\left ( 1-\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{b}{a^{2}}} \right )\left ( a+\sqrt{a+b} \right )}:\left ( \frac{a^{3}+a^{2}+ab+a^{2}b}{a^{2}-b^{2}}+\frac{b}{a-b} \right )$

 

Với $a;b>0;a\neq b;a+b\neq a^{2}$

 

1.Chứng minh:$P=a-b$

2.Tìm $a,b$ biết $P=1$ và $a^{3}-b^{3}=7$

 

Câu 2:(1 điểm) Giả sử $x,y$ thực phân biệt thỏa mãn:

 

$\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}=\frac{2}{xy+1}$

 

Tính $S=\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{2}{xy+1}$

 

Câu 3:(2 điểm) Cho Parabol $(P):y=x^{2}$ và đường thẳng $(d) :y=-2ax-4a$ với $a$ à tham số.

 

1. Tìm tọa độ $\left ( d \right )\cap \left ( P \right )$ khi $a=-\frac{1}{2}$

2.Tìm $a$ sao cho $\left ( d \right )\cap \left ( P \right )$ tại 2 điểm phân biệt có hoành độ $x_{1};x_{2}$ sao cho $\left | x_{1} \right |+\left | x_{2} \right |=3$

 

Câu 4:(1 điểm) Anh Nam đi xe đạp từ $A$ đến $C$.Trên $AB$ ban đầu với $B$ giữa $A,C$.Nam đi với vận tốc không đổi $a(km/h)$.Thời gian đi là $1,5 h$.Trên $BC$,Nam đi với vận tốc tại thời điểm $t$ kể từ $B$ là $v=-8t+a$.Quãng đường đi từ $B$ đến thời điểm $t$ đó là: $S=-4t^{2}+at$.Tính $AB$ biết đến $C$ xe dừng hẳn và $BC=16 km$.

 

Câu 5:(3 điểm) Cho $(O,R)$ ngoại tiếp tam giác nhọn $ABC$.Tiếp tuyến của đường tròn tại $B,C$ cắt nhau tại $P$.$PD,PE\bot AB,AC$. $M$ là trung điểm $BC$.

 

1.Chứng minh:$\widehat{MEP}=\widehat{MDP}$

2.Giả sử $B,C$ cố định, $A$ chạy trên $(O)$ sao cho $\triangle ABC$ luôn nhọn.Chứng minh $DE$ đi qua điểm cố định.

3.Khi $\triangle ABC$ đều. TÍnh $S_{ADE}$ theo $R$.

 

Câu 6:( 1điểm) $x_{1},x_{2},...,x_{9}\in \mathbb{R}$ không âm thỏa mãn:

 

$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+...+x_{9}=10 & \\ x_{1}+2x_{2}+...+9x_{9}=18 & \end{matrix}\right.$

 

Chứng minh:$1.19x_{1}+2.18x_{2}+...+9.11x_{9}\geq 270$

Đẳng thức xảy ra khi nào?

 

 

 

 

ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN 2017

Môn thi:toán (Vòng 2)

(Dùng cho thí sinh thi vào chuyên toán,tin)

Thời gian:150'

 

 

Câu 1:(1,5 điểm) Cho $a,b,c,d>0$.Chứng minh trong 4 số :

 

$a^{2}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c};b^{2}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d};c^{2}+\frac{1}{d}+\frac{1}{a};d^{2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$

 

có ít nhất 1 số không nhỏ hơn 3.

 

Câu 2:(1,5 điểm) Giải phương trình:

 

$\sqrt{(x^{2}+2x)^{2}+4(x+1)^{2}}-\sqrt{x^{2}+(x+1)^{2}+(x^{2}+x)^{2}}=2017$

 

Câu 3:(3 điểm) 

 

1.Tìm $a,b,c,d\in \mathbb{Z}^{+}$ sao cho:

 

$\left\{\begin{matrix} a^{2}=b^{3} & \\ c^{3}=d^{4} & \\ a=d+98 & \end{matrix}\right.$

 

2.Tìm $x\in \mathbb{R}$ sao cho trong 4 số:

 

$x-\sqrt{2},x^{2}+2\sqrt{2},x-\frac{1}{x},x+\frac{1}{x}$

 

Có 1 số không nguyên.

 

Câu 4:(3 điểm) Cho đường tròn $(O,R);M$ ngoài $(O)$. Kẻ tiếp tuyến $MA,MB$ tới $(O)$.Trên $AB$ lấy $C$. $I,K$ là trung điểm $MA,MC$. Đường thẳng $KA$ cắt $(O)$ tại $D$.

 

1.Chứng minh: $KO^{2}-KM^{2}=R^{2}$

2.Chứng minh: $BCDM$ nội tiếp.

3.$MD\cap (O)\equiv E;KE\cap (O)\equiv F$. $N$ là trung điểm $KE$. Chứng minh: $I,A,N,F$ đồng viên.

 

Câu 5:(1 điểm) xét hình dưới:

Viết các số $1,2,3...,9$ vào 9 điểm trong hình bên sao cho mỗi số xuất hiện 1 lần và tổng 3 số trên mỗi cạnh tam giác là 18.Hai cách viết gọi là như nhau nếu bộ số viết ở các điểm $(A,B,C,D,E,F,G,H,K)$ của mỗi cách là trùng nhau.

Hỏi có bao cách viết phân biệt? Tại sao?

Hình gửi kèm

  • 2.png



#682810 CMR $P=\sum \frac{a^{2}+b^{2}-c^...

Gửi bởi NTMFlashNo1 trong 02-06-2017 - 22:23

Cho a;b;c là độ dài ba cạnh của một tam giác.CMR:
P=$\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}+\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}+\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ac}> 1$

BĐT trên
$\Leftrightarrow \sum a(b^{2}+c^{2}-a^{2}) -2abc>0$
$\Leftrightarrow (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)>0$
(Đúng)


#682807 $KP =KQ $

Gửi bởi NTMFlashNo1 trong 02-06-2017 - 22:02

$Đpcm$
$\Leftrightarrow CI,CK$ Là hai đường đẳng giác $\triangle CED$
$\Leftrightarrow \triangle CKQ\sim \triangle CIE$
(Vì đã có $I$ là trung điểm $ED,\triangle CPQ\sim \triangle CDE$)
$\Leftrightarrow \triangle CIE\sim \triangle CDB$
(Vì $\triangle CDB\sim \triangle CKQ$)
$\Leftrightarrow \frac{EI}{BD}=\frac{EC}{BC}$
$\Leftrightarrow ED.BC=2BD.EC$
(Đúng, theo định lý $Ptolemy$ và tính chất tứ giác điều hoà)


#682391 Đề thi toán vòng 2 thpt chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2017-2018

Gửi bởi NTMFlashNo1 trong 30-05-2017 - 11:19

Em nghĩ như vậy thì đơn giản quá. Hình như là $\widehat{DBH}=2\widehat{DKH}$

Xin lỗi mọi người; mình đăng nhầm; câu 4b phải là $\angle{DBH}=2\angle{DKH}$ chứ không phải $\angle{DBH}=2\angle{DHK}$

Nếu mà như thế thì cx dễ
Đpcm $\Leftrightarrow K$ nằm trên đường tròn tâm $(O)$ bán kính $BD=BK$
$\Leftrightarrow BD=BH$
$\Leftrightarrow BI.BC=BD^{2}=BH^{2}$
$\Leftrightarrow BH=\frac{1}{2} BC$
(Đúng)
$\Rightarrow Q.E.D$


#682358 $\sum \sqrt{a}\geq \frac{2\left...

Gửi bởi NTMFlashNo1 trong 29-05-2017 - 22:52

Cho $a,b,c$ là ba cạnh $\triangle ABC$.

Chứng minh:

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq \frac{2\left ( ab+bc+ca \right )-\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{\sqrt{abc}}$

 

Mở rộng:

 

$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\geq \frac{1}{8}\frac{\left ( 2Rr+r^{2}+p^{2} \right )\left ( 4R+r \right )^{2}}{R^{2}p}-p$

 

(Với $R,r,p$ là bán kính đường tròn ngoại nội tiếp tam giác,nửa chu vi tam giác)

 

 

 

 

 

 

 

Nguồn: