Cho $y=0$ ta suy ra $f(x)=\frac{f(f(x))+f(0)}{f(0)+1}$ => $f$ toàn ánh => $\exists a:f(a)=0$ (với $a$ thuộc R)
Cho $x=y$ ta suy ra $f(f(0))=(f(x))^{2}-x^2$ $(1)$
giả sử $f(x_{1})=f(x_{2})$ thì từ $(1)$ suy ra $x^{2}_{1}=x^{2}_{2}$
TH1: $x_{1}=x_{2}$ => $f$ song ánh
thay $x=0$ và $y=a$ ta được $f(f(-a))=f(0)$ => $f(-a)=0=f(a)$ => $a=0$
như vậy $f(0)=0$ thế điều này vào $(1)$ ta được $(f(x))^{2}=x^2$
TH2:$x_{1}=-x_{2}$
Cũng thay $x=0$ , $y=a$ ta thu được $f(-a)=f(a)=0$
giả sử $a \neq 0$ thì thay $x=a$ vào $(1)$ ta thu được $f(f(0))=-a^{2}$ => $(f(x))^2=x^2-a^2$
đến đây thay $x=0$ ta thu được $((f(0))^2=-a^2 < 0$ => vô lý
do đó $a=0$ tương tự trường hợp 1 ta thu được $(f(x))^{2}=x^2$
thử hai trường hợp $f(x)=x$ và $f(x)=-x$ ta chỉ nhận $f(x)=x$