hoangkimca2k2

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn : $(b+c)(c+2a)(c+4a)>0$.Chứng minh rằng : 

  $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+4a}+\frac{2c}{c+2a} \geq 1$

Xin phép được đóng góp 1 bài khá hay cho topic   
(Bất biến,đơn biến) Bài 54.Có 119 người ở trong 120 căn hộ.Một căn hộ được gọi là quá tải nếu có nhiều hơn 14 thành viên.Mỗi ngày,mỗi thành viên của một căn hộ quá tải xảy ra mâu thuẫn và chuyển sang các căn hộ khác nhau.Hỏi quá trình có buộc phải kết thúc không ? 
 

Cho dãy số xác định bởi $x_1=1;x_{n+1}=\frac{2020x_n^2-2019}{2(x_n^2+1)},n=1,2... $
Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn.

Ta có $x_{1}=1\Rightarrow x_{2}=\frac{1}{4},x_{3}=-\frac{15142}{17}<0$

Và bắt đầu từ $x_{4}$ thì mọi số hạng của dãy đều lớn hơn $0$ ( dễ chứng minh được )

Nên ta có $x_{n}>0,\forall n\geq 4$

Lại có: $x_{n+1}=1010-\frac{4039}{2\left ( x_{n}^{2}+1 \right )}<1009$

Ta xét hàm số: $f(x)=\frac{2020x^{2}-2019}{2\left ( x^{2}+1 \right )}, \forall 0<x<1009$

Khi đó: $f(x)=1010-\frac{4039}{2\left ( x^{2}+1 \right )}$$\Rightarrow f^{'}(x)=\frac{4039x}{(x^{2}+1)^{2}}>0,\forall 0<x<1009$

Vậy $f$ đồng biến trên $(0;1009)$ 

Dễ thấy $(x_{n})$ là dãy số tăng ngặt mà bị chặn trên nên tồn tại giới hạn hữu hạn

Giả sử $limx_{n}=L; (0<L<1009)$ đến đây giải phương trình giới hạn ta tính được $L$ ( hình như số lẻ :v )

Câu 1a) $\frac{a_{n+3}+a_{n+1}}{a_{n+2}}=\frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{a_{n}}$ do đó: $a_{n+2}=3a_{n+1}-a_{n}$ nếu $n$ lẻ, $a_{n+2}=5a_{n+1}-a_{n}$ nếu n chẵn

Câu 3: đặt $f(0)=a$

$P(0;-y)$: $y^2f(y)=y^2f(-y)$ suy ra $f$ là hàm chẵn, ta chỉ cần xét hàm $f(x)$ với $x\geq 0$

$P(0;0)$: $f(-a)=f(a)=-a$

$P(a;0)$:$f(-a)=f(a^2)-2a$ suy ra $f(a^2)=a$

$P(0;a)$:$f(-a^2)=a^2f(a)-2a$ suy ra $a^3+a=0$ hay $a=0$, vậy $f(0)=0$

$P(0;x),P(x;0)$: $f(f(x))=f(x^2),f(x^2)=f(x).x^2$ (*)

Nhận xét $f(x)\equiv 0$ thỏa mãn.

Xét $f(x)$ ko đồng nhất với 0,giả sử tồn tại $x_0 > 0$ mà $f(x_0)=0$ thế thì 

$P(x_0;x)$ ta có $f(-x^2)=x^2f(x)-2f(yx_0)$, do (*) nên $f(yx_0)=0$, mà $yx_0$ có TGT là $\mathbb{R*}$ nên suy ra $f(x)=0$ với mọi $x>0$ vô lý.

vậy từ (*) suy ra $f(x)$ đơn ánh trên $(0;+\infty)$, do đó cũng từ (*) mà suy ra $f(x)\equiv x^2$

hình như sai từ chỗ này

Bài toán:

Cho đa giác đều 2n (n lớn hơn hoặc bằng 3) . Hỏi có bao nhiêu tam giác tù có các đỉnh là các đình của đa giác đã cho.

Tổng quát:

Tam giác tù thì $3$ đỉnh của nó nằm trên một nữa đường tròn.

Kẻ đường kính từ 1 đỉnh bất kì của tam giác

$+$ Nếu n lẻ thì kẻ đường kính từ 1 đỉnh bất kì của tam giác, các cách chọn $2$ đỉnh còn lại là $C_{\frac{n-1}{2}}^{2}$

Số tam giác tù tạo thành là $n.C_{\frac{n-1}{2}}^{2}$

$+$ Nếu n chẵn thì hai đỉnh đối điện của đa giác đều là đường kính, các cách chọn $2$ đỉnh còn lại: $C_{\frac{n-2}{2}}^{2}$

Số tam giác tù tạo thành là $n.C_{\frac{n-2}{2}}^{2}$

Cho $x,y\in \mathbb{R},x+y\in \left [ 1;2 \right ]$ Tìm $Min$ của $\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{x+y}+\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}+16\sqrt{xy}$

Cho $a,b,c\geq 0;a+b+c=3$. Tìm $Min$ của $\sum \frac{1}{a^{2}+abc}$

4. Cho $ a, b, c> 0$.

cmr: $\frac{a^{6}}{b^{3}}+\frac{b^{6}}{c^{3}}+\frac{c^{6}}{a^{3}}\geq \frac{a^{4}}{c}+\frac{b^{4}}{a}+\frac{c^{4}}{b}$

 

Theo $AM-GM$ ta có: $\frac{a^{6}}{b^{3}}+\frac{a^{6}}{b^{3}}+\frac{b^{6}}{c^{3}}\geq 3\frac{a^{4}}{c}...$

 

5. Cho $ a, b, c> 0$ và $a+b+c=ab+bc+ca$

cmr: $\frac{1}{a^{2}+b+1}+\frac{1}{b^{2}+c+1}+\frac{1}{c^{2}+a+1}\leq 1 $

 

Ta có: $(a^{2}+b+1)(1+b+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}...$

 

Câu 6 (0,5 điểm). Cho $17$ số tự nhiên mà các chữ số của mỗi số được lấy từ tập hợp {$1,2,3,4$}. Chứng minh rằng ta có thể chọn được $5$ ó trong $17$ số đã cho sao cho tổng của $5$ số này chia hết cho $5$.

 

$(+)$ Nếu trong $17$ số tự nhiên chứa cả $5$ số thì khỏi phải bàn

$(+)$  Nếu trong $17$ số tự nhiên chứa  $4$ số trong các số đã cho thì theo $Dirichlet...$

EZ cho trường hợp còn lại

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a+b+c\leq 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab(a+b)}+\frac{1}{bc(b+c)}+\frac{1}{ac(c+a)}$

$Balkan-2000$ Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(xf(x)+f(y))=f^{2}(x)+y;\forall x,y\in \mathbb{R}$

Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}$. Chứng minh rằng $x^{3}+y^{3}\leq 2$

gpt $\sqrt{x+9}=\sqrt{x}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}

Bình phương 2 lần là $Ok$

$x=\frac{1}{7}$

Cho $a,b,c,d,e$ là các số thực dương có tổng bằng 5. Chứng minh rằng $abc+bcd+cde+dea+eab\leq 5$