ta có : $ab+a+1=a(bc+b+1)\doteq ab(ca+c+1)$
nên BĐT trờ thành : $\frac{a+a^{2}b + a^{2}b^{2}c}{(ab+a+1)^{2}} \geq \frac{1}{a+b+c} \Leftrightarrow \frac{ac+a+1}{(ab+a+1)^{2}} \geq \frac{c}{a+b+c}$
đặt $a=\frac{x}{y} , b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$
quy đồng ta được : $(x+y+z)(x^{2}y + y^{2}z + z^{2}x) \geq (xy+yz+zx)^{2}$ : đúng