phanthanhtruyen

ta có : $ab+a+1=a(bc+b+1)\doteq ab(ca+c+1)$

nên BĐT trờ thành : $\frac{a+a^{2}b + a^{2}b^{2}c}{(ab+a+1)^{2}} \geq \frac{1}{a+b+c} \Leftrightarrow \frac{ac+a+1}{(ab+a+1)^{2}} \geq \frac{c}{a+b+c}$ 

đặt $a=\frac{x}{y} , b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$

quy đồng ta được : $(x+y+z)(x^{2}y + y^{2}z + z^{2}x) \geq (xy+yz+zx)^{2}$ : đúng 

cần c/m $\left ( \sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}} \right )^{2} \leq 2(a+b+c)\left ( \sum \frac{2a}{(a+b)(c+a)} \right )\leq 9$$\Leftrightarrow 8(a+b+c)(ab+bc+ca)\leq 9(a+b)(b+c)(c+a)$ 

đúng . 

ta có : $\sum \frac{a^{2}(b+1)}{b(a^{2}+ab+b^{2})} = \sum \frac{a^{2}(1+ac)}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{2}{3}\sum \frac{a^{2}(1+ac)}{a^{2}+b^{2}}$

cần c/m : $\sum \frac{a^{2}(1+ac)}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{9}{a+b+c} \Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}} + \sum \frac{a^{3}c}{a^{2}+b^{2}} \geq \frac{9}{a+b+c} $ $\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}} + \sum ac \geq \sum (ac-\frac{a^{3}c}{a^{2}+b^{2}}) + \frac{9}{a+b+c} = \sum \frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}} + \frac{9}{a+b+c}$ (abc=1)

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}} + \sum (1-\frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}) + \sum ab \geq 3 + \frac{9}{a+b+c} $ $\Leftrightarrow 2\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}} + \sum ab \geq 3 + \frac{9}{a+b+c}$

mà : $(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 9 ( abc=1)$

ta cần c/m : $\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{1+\frac{a^{2}}{b^{2}}}\geq \frac{3}{2}$

đặt $x=\frac{a^{2}}{b^{2}},y=\frac{b^{2}}{c^{2}},z=\frac{c^{2}}{a^{2}}$

do đó ta cần c/m : $\sum \frac{1}{1+x}\geq \frac{3}{2} \Leftrightarrow x+y+z\geq xy+yz+xz (xyz=1)$

đúng !!!

ta có : $\sum \frac{a^{3}}{b}=\sum \frac{a^{4}}{ab}\geq \frac{9}{ab+bc+ca}$

và theo bđt schur có : $abc\geq \frac{(a+b+c)(2\sum ab -\sum a^{2})}{9}=\frac{(a+b+c)(2\sum ab - 3)}{9}$

vậy ta cần chứng minh: $\frac{9}{ab+bc+ca}+\frac{2(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}\geq 4+\frac{a+b+c}{3}$

đặt x=a+b+c và y= ab+bc+ca . ta được : $\frac{9}{y} + \frac{2xy}{9}\geq 4+\frac{x}{3}$

mà $\frac{9}{y}\geq 18 - y$

nên thay vào và quy đồng ta cần c/m : $18+2xy\geq 9y+3x$

mà $y= \frac{x^{2}-3}{2}$ 

suy ra : $2x^{3}-9x^{2}-12x+63\geq 0 \Leftrightarrow (x-3)(x-\frac{3+\sqrt{177}}{4})(x+\frac{\sqrt{177}-3}{4})\geq 0$

đúng vì ta có $x=a+b+c\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=3$. !!!!