cần c/m $\left ( \sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}} \right )^{2} \leq 2(a+b+c)\left ( \sum \frac{2a}{(a+b)(c+a)} \right )\leq 9$$\Leftrightarrow 8(a+b+c)(ab+bc+ca)\leq 9(a+b)(b+c)(c+a)$
đúng .
- yeutoan2001 yêu thích
Gửi bởi phanthanhtruyen trong 07-11-2016 - 14:48
cần c/m $\left ( \sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}} \right )^{2} \leq 2(a+b+c)\left ( \sum \frac{2a}{(a+b)(c+a)} \right )\leq 9$$\Leftrightarrow 8(a+b+c)(ab+bc+ca)\leq 9(a+b)(b+c)(c+a)$
đúng .
Gửi bởi phanthanhtruyen trong 03-11-2016 - 17:16
ta có : $\sum \frac{a^{3}}{b}=\sum \frac{a^{4}}{ab}\geq \frac{9}{ab+bc+ca}$
và theo bđt schur có : $abc\geq \frac{(a+b+c)(2\sum ab -\sum a^{2})}{9}=\frac{(a+b+c)(2\sum ab - 3)}{9}$
vậy ta cần chứng minh: $\frac{9}{ab+bc+ca}+\frac{2(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}\geq 4+\frac{a+b+c}{3}$
đặt x=a+b+c và y= ab+bc+ca . ta được : $\frac{9}{y} + \frac{2xy}{9}\geq 4+\frac{x}{3}$
mà $\frac{9}{y}\geq 18 - y$
nên thay vào và quy đồng ta cần c/m : $18+2xy\geq 9y+3x$
mà $y= \frac{x^{2}-3}{2}$
suy ra : $2x^{3}-9x^{2}-12x+63\geq 0 \Leftrightarrow (x-3)(x-\frac{3+\sqrt{177}}{4})(x+\frac{\sqrt{177}-3}{4})\geq 0$
đúng vì ta có $x=a+b+c\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=3$. !!!!
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học