Mr Cooper

Tìm hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa

$4f(x)+(x-1).f \left (\dfrac{x}{x-1} \right)=15$

Lớp có $13$ HSG , trong đó có $8$ HSG giỏi toán , $7$ HSG lý , $8$ HSG hóa. Hỏi có thể có nhiều nhất bao nhiêu học sinh giỏi cả $3$ môn có thể xảy ra ?

Cho $(H)$: $y=\dfrac{1}{x-2}$

Tìm phép tịnh tiến biến $(H)$ thành $y=\dfrac{x-3}{x+7}$.

\[\text{ĐỀ LUYỆN TẬP OLYMPIC KHỐI 11 VMF} \]

Bài Toán 1. Cho dãy số ${xn}$ thoả mãn với $-1<a<1$ thoả mãn dãy số ${ x_n+1 + ax_n }$ hội tụ đến $1$ lim hữu hạn . Chứng minh rằng ${xn}$ hội tụ .

Bài Toán 2. Cho hàm số $f:[0,1] \rightarrow [0,+\infty)$ thỏa mãn $$\frac{f(x)+f(y)}{2} \le f(\frac{x+y}{2})+1$$ với mọi $x,y \in [0,1]$ . Chứng minh rằng với mọi $a,b,c \in [0,1],a<b<c$ thì $\frac{c-b}{c-a}f(a)+\frac{b-a}{c-a}f(c) \le f(b)+2$

Bài Toán 3. Cho tập hợp các số nguyên $\mathbb{Z}$ bởi $4$ màu xanh,đỏ,tím, vàng $x,y \in \mathbb{Z}$ lẻ thỏa mãn $|x| \ne |y|$ . Chứng minh tồn tại hai số nguyên cùng màu có hiệu thuộc tập $\{x,y,x+y,x-y\}$

Bài Toán 4. Cho các số nguyên dương $a,p,k$ sao cho $gcd(a,p)=1$ và số thực dương $d$ bất kì. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau :

1) $ax^2+b|[dx]!$

2) $p|x+k$

Bài Toán 5. Cho tam giác $ABC$ với $AB< AC$. $M$ là trung điểm $BC$. Gọi $N$ trên $AC$ thỏa mãn $CN=NA+AB$. Trên đường thẳng qua $A$ song song với $MN$. Chọn $J$ thỏa mãn $AJ$ đi qua tâm $I$ của $(JBC)$. $K$ đối xứng với $J$ qua $BC$, $IK$ cắt $BC$ tại $T$. $AT$ cắt $KL$ tại $S$. Gọi $R$ là tâm nội tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $M$ thuộc trung trực $RS$

Người ra đề: Nguyễn Minh Quang , Nguyễn Hoàng Tùng Lâm , Huỳnh Bách Khoa