Ruby Dalek

Bài 1: Chứng minh rằng: Giữa hai số thực bất kỳ có một số vô tỷ, tức là tập các số vô tỷ trù mật trong $\mathbb{R}$.

Bài 2: Người ta gọi mỗi số hữu tỷ có dạng $\frac{m}{2^n}, m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}$ là một số dyadic.

Chứng minh rằng: Tập các số dyadic trù mật trong $\mathbb{R}$.

Bài 3: 

1. Cho $D,E$ là hai bộ phận của $\mathbb{R}$ sao cho $D$ trù mật trong $\mathbb{R}$ và $D \subset E$.

Chứng minh rằng: $E$ là một tập trù mật trong $\mathbb{R}$.

2. Cho $D$ là một bộ phận của $\mathbb{R}$ và trù mật trong $\mathbb{R}$, $F$ là bộ phận hữu hạn của $D$.

Chứng minh rằng: $D \setminus F$ trù mật trong $\mathbb{R}$.

Bài 4: Ký hiệu $E=\{ q^2 : q \in \mathbb{Q}\}, -E = \{-q^2 : q \in \mathbb{Q}\}, D= E \cup -E$.

Chứng minh rằng $D$ trù mật trong $\mathbb{R}$.

Tính định thức sau

$\begin{vmatrix} x_{1} & a_{2} & a_{3} & ... &a_{n}\\ a_{1} & x_{2} & a_{3} & ... &a_{n} \\ a_{1} & a_{2} & x_{3} & ... &a_{n} \\ .& . & . & &.\\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & ... &x_{n} \end{vmatrix}$

Cho $V, W$ là hai không gian vetor hữu hạn chiều. Chứng minh rằng:

a/ Nếu $dimV < dimW$ thì không có toàn cấu từ $V$ lên $W$.

b/ Nếu$ dimV > dimW$ thì không có đơn cấu từ $V$ vào $W$.

c/ Với bất kỳ ánh xạ tuyến tính $f, g$ đi từ $V$ sang $W$ ta đều có $dim Im(f+g) \leq dim Im(f) + dim Im(g)$