Ruby Dalek

Chứng minh rằng không tồn tại hai ma trận vuông cùng cấp $A, B$ thỏa mãn $AB - BA = I$.

Tìm giới hạn $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a^n}{n^n}$.

Mọi người giúp e bài này với ạ.

Bài 1: Giả sử $A$ là một tập bị chặn trong $\mathbb{R}$. Hãy chứng minh rằng:

Tồn tại hai dãy $\{x_n\}, \{y_n\} \subset A$ sao cho

$supA = \lim_{n \to \infty} x_n$ và $infA = \lim_{n \to \infty} y_n$.

Bài 2: Cho dãy $\{x_n\}$ có tính chất: Tồn tại $C > 0$ sao cho: 

$|x_1 - x_2| + |x_2 - x_3| + \cdots + |x_{n-1} - x_n| \leq C$ với mọi $n \geq 2$.

Chứng minh rằng: dãy $\{x_n\}$ hội tụ.

Bài 3: Tìm $\lim_{n \to \infty} a_n$ với
$a_n = \frac{E(x) + E(2^2x) + \cdots + E(n^2x)}{n^3}$, ở đây $E(x)$ là phần nguyên của $x$.

Bài 4: Chứng minh rằng: Dãy số $a_n = \sqrt[n]{\alpha^n + \beta^n} (n \geq 1, 0 \leq \alpha \leq \beta)$ hội tụ và tìm giới hạn của dãy số đó.