SonKHTN1619

P4 D2

Bài 198:

Gọi $AD,CH$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $X,Y$.

Áp dụng định lý $Pascal$ cho bộ $\binom{X A C}{B Y A}$ ta có $X,Y, K$ thẳng hàng.

Tiếp tuyến tại $X$ của $(O)$ song song $BC$

$=>$ Áp dụng định lý $Pascal$ cho $\binom{B Y X}{X A C}$ ta có $KL // BC$ với $L$ là giao $CH$ với $AD$.

Do đó $HK \perp AD.$

Bài toán 200. Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$. Đường tròn $\omega $ tiếp xúc trong $(O)$ và tiếp xúc $AB,AC$ tại $E,F$. $EF$ cắt $BC$ tại $X$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. $AD$ cắt $\omega $ tại $T$ sao cho $T$ nằm giữa $A,D$, $AX$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $S$. $(AST)$ cắt $AC,AB$ tại $P,Q$. Chứng minh rằng $BCPQ$ là tứ giác lưỡng tâm.  

Hướng giải của em cho bài 3b:

- Theo gợi ý 1 của thầy Hùng, ta sẽ chứng minh đối xứng của điểm $H$ qua đường thẳng qua $F$ vuông góc $DE$ nằm trên $TI$ (1)

- Chứng minh $\angle CTI = 90^{\circ}$

- Gọi $K$ là hình chiếu của $F$ lên $DE$. Ta sẽ chứng minh $T,I,K$ thẳng hàng từ đó theo gợi ý 2, ta suy ra (1).

Gợi ý 2 có thể chứng minh bằng cách dùng bổ đề sau:

"Cho $\Delta ABC$ có trực tâm $H. E, F$ là 2 điểm bất kỳ trên $CA,AB$. Khi đó $H$ nằm trên trục đẳng phương của $(BE), (CF)$

Em xin đào lại topic chút:

Bài 3 ngày 1:

Gọi $Y,J$ là giao của $CF$ với tiếp tuyến tại $D$ của $(ABD)$ và $(ABD)$ 

Gọi $X$ là giao của $BJ$ với $(O)$, $AX$ cắt $BJ$ tại $L$

Áp dụng định lý $Pascal$ cho $\binom{ADB}{EXD} => A,X,G$ thẳng hàng

Áp dụng định lý $Pascal$ cho $\binom{AJB}{BXF} => Y, L,T$ thẳng hàng

Áp dụng định lý $Pascal$ cho $\binom{JDE}{DBF} => D,F,H$ thẳng hàng

$DM$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $I => BI // AF$

Áp dụng định lý $Pascal$ cho $\binom{ABD}{XFE}$ ta thu được $HN // AT (q.e.d)$

Em xin phép đào lại topic chút: 

Bài 3 ngày 2:

a/ Gọi $K,L$ là tâm của $(APM), (BPN)$

Ta có $\angle KAM = 90^{\circ} - \angle APD = const => K$ chạy trên đường thẳng cố định

$=>$ Tiếp tuyến tại $A$ của $(APM)$ cố định.

Tương tự ta có tiếp tuyến tại $B$ của $(BPN)$ cố định.

Gọi $T$ là giao 2 tiếp tuyến trên $=>T$ cố định

$=> T$ nằm trên trục đẳng phương của $(APM), (BPN)$ => $PQ$ đi qua $T$ cố định (q.e.d)

b/ Qua $E$ kẻ đường thẳng song song với $CD$ cắt $AC,BD$ tại $X,Y$

Gọi $R$ là giao của $BT$ với $AC$

Theo định lý $Reim$ ta có $ABXY$ là tứ giác nội tiếp.

$=> E(DCXT) = (TXRB) = -1 => E,I,T$ thẳng hàng (q.e.d)