Duy Thai2002

Kí hiệu $P(m,n)$ là thay $x$ bởi  $m$, $y$ bởi $n$ trong phương trình hàm đề bài.

$P(0,0)$ $f(-1)+(f(0))^{2}=-1$

$P(0,-1)$ $=> f(-1)+f(0)f(-1)=-1$

$=> f(0)(f(0)-f(-1))=0$ 

$<=> \begin{bmatrix}f(0)=0 & \\ f(0)=f(-1) & \end{bmatrix}$

Nếu $f(0)=f(-1)$ thì theo như trên suy ra được:

$f(0)^{2}+f(0)=-1$. Rõ ràng phương trình này vô nghiệm trên $\mathbb{R}$ nên loại TH này

$=> f(0)=0$. Theo $P(0,0)$ $=> f(-1)=-1$

$P(1,1)$ $=> (f(1))^{2}=1$

$<=> \begin{bmatrix}f(1)=1 & \\ f(1)=-1 & \end{bmatrix}$

Nếu $f(1)=1$ 

$P(x,1)$  

$=> f(x)+f(x-1)=2x-1$  (1)

Trong $(1)$ thay $x$ bởi $xy$:

$f(xy-1)+f(xy)=2xy-1$. 

$=> f(xy)=f(x)f(y)$

Trong (1), thay $x$ bởi $x^{2}+2x+1$:

$f(x^{2}+2x+1)+f(x^{2}+2x)=2x^{2}+4x+1$

$<=> f(x)f(x+2)+(f(x+1))^{2}=2x^{2}+4x+1$

Đặt $f(x+2)=a,f(x+1)=b,f(x)=c$

Ta có:

$\left\{\begin{matrix}a+b=2x+3 & & \\b+c=2x+1 & & \\ac+b^{2}=2x^{2}+4x+1 & & \end{matrix}\right.$( dễ dàng suy ra bằng việc thay đổi  giá trị $x$ trong (1))

$=> \left\{\begin{matrix}a=c+2 & & \\b=2x+1-c & & \\ac+b^{2}=2x^{2}+4x+1 & & \end{matrix}\right.$

$=> c(c+2)+(2x+1-c)^{2}=2x^{2}+4x+1$

Sau khi khai triển và thu gọn phương trình trên, ta được:

$2(c-x)^{2}=0$

$<=> c=x$

$<=> f(x)=x$ $\forall x\in \mathbb{R}$ . Thử lại thấy thỏa nên nhận hàm.

Nếu $f(1)=-1$

$P(x,1)$  

$=> f(x-1)-f(x) =2x-1$(2)

 Trong $(2)$ thay $x$ bởi $xy$:

$f(xy-1)+f(xy)=2xy-1$.

$=> f(xy)=-f(x)f(y)$

Trong (2), thay $x$ bởi $x^{2}+2x+1$:

$-f(x^{2}+2x+1)+f(x^{2}+2x)=2x^{2}+4x+1$

$<=>- f(x)f(x+2)+(f(x+1))^{2}=2x^{2}+4x+1$

Đặt $f(x+2)=a,f(x+1)=b,f(x)=c$

Ta có:

$\left\{\begin{matrix}b-a=2x+3 & & \\c-b=2x+1 & & \\b^{2}-ac=2x^{2}+4x+1 & & \end{matrix}\right.$( dễ dàng suy ra bằng việc thay đổi  giá trị $x$ trong (2))

$=> \left\{\begin{matrix}a=c-4x-4 & & \\b=c-2x-1& & \\b^{2}-ac=2x^{2}+4x+1 & & \end{matrix}\right.$

$=> (c-2x-1)^{2}-c(c-4x-4)=2x^{2}+4x+1$

Sau khi khai triển và thu gọn phương trình trên, ta được:

$2c=-2x^{2}$

$<=> c=-x^{2}$ $<=> f(x)=-x^{2}$ $\forall x\in \mathbb{R}$. 

Thử lại thấy thỏa nên nhận hàm trên.

Vậy $f(x)=x$, $f(x)=-x^{2}$ $\forall x\in \mathbb{R}$. 

Bài 3. Ta có tính chất sau:

$a.b=(a,b)[a,b]$

Do đó , ta có bất biến là: tích hai số lúc đầu bằng tích hai số lúc sau.

Xét số $a_{1}$ mang giá trị  ban đầu là$a$ ( với $a_{1}$ là số ở ô thứ 1 và $a_{1}$  phải nhận giá trị là UCLN của hai số được thay)

Ta nhận nếu thay $a,b$ bởi $a',b'$   $a'=(a,b)$ thì $a_{1}< a,a_{1}<b$ . Cứ tiếp tục thay $a_{1}$ với  một số bất kì khác và lặp lại liên tục thì $a_{1}$ luôn giảm,.

Mà một số trong bảng thì lớn hơn hoặc bằng 1.Do đó, sẽ có lúc số $a_{1}$ phải bằng 1.  Tiếp tục giống như trên ở ô bất kì.

Thì sau hữu hạn bước, hoặc trên bảng có 2017 số 1 hoặc còn lại k số $1$ và 2018-k số, sao cho những số đó lập thành một cấp số nhân.

Do đó, quá trình kết thúc sau hữu hạn bước.

2b). Ta có:

$x_{n}=a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}^{2}\geq \frac{(a_{n}+b_{n}+c_{n})^{2}}{3}=\frac{1}{3}$, $x_{n}=(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}^{2})\leq (a_{n}+b_{n}+c_{n})^{2}=1$ ( do  $a_{n},b_{n},c_{n}$ đều dương.

$=> (x_{n})$ bị chặn.

Mặt khác, ta có: $x_{n+1}=\frac{3x_{n}^{2}-2x_{n}+1}{2}\leq x_{n}$

$<=> 3x_{n}^{2}-4x_{n}+1\leq 0$ ( đúng do $\frac{1}{3}\leq x_{n}\leq 1$)

$=> (x_{n})$ giảm và bị chặn nên $(x_{n})$ hội tụ. Gọi giới hạn dãy là $L$, $\frac{1}{3}\leq L\leq 1$

Chuyển qua giới hạn, ta có:

$L=\frac{3L^{2}-2L+1}{2}$

Giải pt trên được$\begin{bmatrix}L=\frac{1}{3} & \\ L=1 & \end{bmatrix}$

Kết luận.

Bài 2 

a) Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh $a_{n}+b_{n}+c_{n}=1$

Ta có: $x_{n}^{2}+\frac{(x_{n}-1)^{2}}{2}=(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}^{2})^{2}+\frac{(-2a_{n}b_{n}-2b_{n}c_{n}-2c_{n}a_{n})^{2}}{2}=(a^{2}_{n}+b^{2}_{n}+c^{2}_{n})^{2}+2(a_{n}b_{n}+b_{n}c_{n}+c_{n}a_{n})^{2}$

Tới đây để ý một chút ta có thể phân tích:  $(a^{2}_{n}+b^{2}_{n}+c^{2}_{n})^{2}+2(a_{n}b_{n}+b_{n}c_{n}+c_{n}a_{n})^{2}=(a_{n}^{2}+2b_{n}c_{n})^{2}+(b_{n}^{2}+2c_{n}a_{n})^{2}+(c_{n}^{2}+2a_{n}b_{n})^{2}=a_{n+1}^{2}+b_{n+1}^{2}+c_{n+1}^{2}=x_{n+1}$

Do đó , $x_{n+1}=x_{n}^{2}+\frac{(x_{n}-1)^{2}}{2}$

Câu 1. Đề anh đánh thiếu rồi. Phải là $f(f(x_{0}))$

Từ gt 

$=> x^{2}+ax+b=0$ có nghiệm kép là $f(x_{0})$

$<=> \Delta =0$

$<=> a^{2}=4b\geq 0$

$=> b\geq 0$

$=> f(x_{0})=\frac{-a}{2}$. Mà theo giả thuyết thì $f(x_{0})$ là nhiệm $f(x)$

$=> f(x_{0})=\frac{-a}{2}$

$<=> x_{0}^{2}+ax_{0}+\frac{a^{2}}{4}+\frac{a}{2}=0$

Mà $x_{0}$ là duy nhất nên pt $x^{2}+ax+\frac{a^{2}}{4} +a=0$

$<=> a^{2}-4(\frac{a^{2}}{4}+\frac{a}{2})=0$

$<=> a=0$.

Vậy $a,b$ là hai số thực  không âm.