Ta đi chứng minh: $x^2-x(\sqrt{y}-1)+y-\sqrt{y}+1\geq \frac{2}{3}$
Thật vậy: $x^2-x(\sqrt{y}-1)+y-\sqrt{y}+1-\frac{2}{3}$ có $\Delta=-\frac{1}{3}(3\sqrt{y}-1)^2\leq 0$ nên theo định lý về dấu của tam thức bậc hai thì bất đẳng thức trên đúng.
Dấu '=': $x=\frac{-1}{3},y=\frac{1}{9}$