Đến nội dung

Hoang Dinh Nhat

Hoang Dinh Nhat

Đăng ký: 04-03-2017
Offline Đăng nhập: 22-08-2022 - 21:27
****-

Trong chủ đề: Tìm GTLN

09-09-2018 - 22:18

Ta đi chứng minh: $x^2-x(\sqrt{y}-1)+y-\sqrt{y}+1\geq \frac{2}{3}$

Thật vậy: $x^2-x(\sqrt{y}-1)+y-\sqrt{y}+1-\frac{2}{3}$ có $\Delta=-\frac{1}{3}(3\sqrt{y}-1)^2\leq 0$ nên theo định lý về dấu của tam thức bậc hai thì bất đẳng thức trên đúng.

Dấu '=': $x=\frac{-1}{3},y=\frac{1}{9}$


Trong chủ đề: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2018-2019

05-06-2018 - 21:18

Một cách khác cho câu 5: 

Nếu $a+b-c>0$

Từ giả thiết suy ra: $a+b=\sqrt{ab}+c$$\Rightarrow$$c\geq \sqrt{ab}$

Ta có: $P=\frac{c^2}{(a+b-c)^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}=\frac{c^2}{ab}+\frac{c^2}{(a+b)^2-2ab}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}=\frac{c^2}{ab}+\frac{c^2}{(\sqrt{ab}+c)^2-2ab}+\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}+c}$

Đặt $c=x,\sqrt{ab}=y$($x\geq y$)$\Rightarrow xy+3y^2\leq 4x^2$

$\Rightarrow P=\frac{x^2}{y^2}+\frac{x^2}{(x+y)^2-2y^2}+\frac{y}{x+y}=\frac{x^2}{2y^2}+\frac{x^2}{(x+y)^2-2y^2}+\frac{x^2}{2y^2}+\frac{y}{x+y}$

Áp dụng $C-S$, ta được: $\frac{x^2}{2y^2}+\frac{x^2}{(x+y)^2-2y^2}\geq \frac{4x^2}{(x+y)^2}$ và $\frac{x^2}{2y^2}+\frac{y}{x+y}=\frac{x^2}{2y^2}+\frac{y^2}{xy+y^2}\geq \frac{(x+y)^2}{xy+3y^2}\geq \frac{(x+y)^2}{4x^2}$

$\Rightarrow P\geq\frac{4x^2}{(x+y)^2}+ \frac{(x+y)^2}{4x^2}\geq 2$ ($AM-GM$)

Nếu $a+b-c<0$

$\Rightarrow P>\frac{c^2}{ab}+\frac{c^2}{c^2-2ab}+\frac{\sqrt{ab}}{c}\geq \frac{(c+c)^2}{2ab+c^2-2ab}+\frac{c^2}{2ab}+\frac{\sqrt{ab}}{c}=4+\frac{c^2}{2ab}+\frac{\sqrt{ab}}{2c}+\frac{\sqrt{ab}}{2c}\geq 4+\frac{3}{2}=\frac{11}{2}>2$

Vậy $Min$ của $P$ là $2$

Dấu ''='' xảy ra khi: $a=b=c$


Trong chủ đề: [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN}}...

17-04-2018 - 11:13

A cũng góp một bài khá hay: 

Bài 20: Cho $a,b,c,x,y,z>0$ thỏa mãn $(a+b+c)(x+y+z)=(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=4$. Chứng minh: $abcxyz<\frac{1}{36}$

Ps: Lâu lắm rồi mới vào lại diễn đàn


Trong chủ đề: $\sum \frac{ab}{4a+5b+6c}\leq...

13-03-2018 - 00:50

l


Trong chủ đề: $\frac{a^{3}}{(1+a)(1+b)}+\f...

18-11-2017 - 17:22

1) Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: 

$\frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c-a)^{2}}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+(c+a-b)^{2}}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+(a+b-c)^{2}}\leq 1$

Vì BĐT thuần nhất nên chuẩn hóa: $a+b+c=3$

BĐT cần chứng minh trở thành: $\frac{a^2}{2a^2+(3-2a)^2}+\frac{b^2}{2b^2+(3-2b)^2}+\frac{c^2}{2c^2+(3-2c)^2}\leq 1$

Ta có đánh giá: $\frac{a^2}{2a^2+(3-2a)^2}\leq \frac{2a-1}{3}$$\Leftrightarrow 3(a-1)^2(4a-3)\geq 0$

Nếu $a,b,c\geq \frac{3}{4}$ thì đánh giá luôn đúng nên ta có: $\frac{a^2}{2a^2+(3-2a)^2}+\frac{b^2}{2b^2+(3-2b)^2}+\frac{c^2}{2c^2+(3-2c)^2}\leq \frac{2(a+b+c)-3}{3}=1$

Nếu $a,b,c<\frac{3}{4}$ thì: $\frac{a^2}{2a^2+(3-2a)^2}<\frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{a^2}{2a^2+(3-2a)^2}+\frac{b^2}{2b^2+(3-2b)^2}+\frac{c^2}{2c^2+(3-2c)^2}<1$

Vậy BĐT được chứng minh:

Dấu '=' xảy ra khi: $a=b=c=1$