DNThi

Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 4

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{1}{xy} + \frac{1}{xz}$

$$P\geq \frac{4}{x(y+z)}\geq \frac{16}{x+y+z}=1$$

Bản gõ $\LaTeX$ tổng hợp một số đề và lời giải chưa hoàn chỉnh, file ineq-2016-mo.lyx được phép tải về đề một bạn nào đó tiếp tục cho hoàn thành.

Bài 55 (2016 CWMO). Cho $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là các số thực không âm và đặt $\displaystyle S_k= \sum\limits_{i=1}^{k}a_i,\;(1\le k\le n).$  Chứng minh rằng

$$\sum\limits_{i=1}^{n}\left(a_i \cdot S_i\sum\limits_{j=i}^{n}a^2_j\right)\le \sum\limits_{i=1}^{n}\left(a_iS_i\right)^2.$$

Ta có

$$VT=\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}\left(\sum_{k=1}^{i}a_{i}\right)\left(\sum_{j=i}^{n}a_{j}^{2}\right)\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}\sum_{1\leq k\leq i\leq j}^{n}a_{k}a_{j}^{2}\right)=\sum_{1\leq k\leq i\leq j\leq n}^{n}a_{k}a_{i}a_{j}^{2}=\sum_{1\leq i\leq j\leq n}^{n}a_{i}^{2}a_{j}^{2}+\sum_{1\leq k<i\leq j\leq n}^{n}a_{k}a_{i}a_{j}^{2}$$

và

do đó bđt cần chứng minh tương đương với

$$0\leq\sum_{1\leq j<k\leq i\leq n}a_{j}a_{k}a_{i}^{2}$$

Đẳng thức xảy ra khi $a_i=0$