minhmeo68

Ta có: P(c) = c^2 - (a+b)*c + ab

Lại có P(c) = c^2

Do đó (a + b)*c = ab

     <=> ac + bc - ab = 0

     <=> a(c - b) - c(c - b) + c^2 = 0

     <=> (a - c)(b - c) = c^2

Gọi d là ước chung lớn nhất của a - c và b - c

Ta có a - c chia hết cho d

          b - c chia hết cho d

Do đó (a - c)(b - c) chia hết cho d^2

Do đó c^2 chia hết cho d^2

  => c chia hết cho d

  => a chia hết cho d

       b chia hết cho d

Nên d = 1 do (a, b, c) = 1

Suy ra a - c = t^2

           b - c = u^2

Ta có a + b = (a - c) + (b - c) + 2c = k^2 + m^2 + 2km  = (k + m)^2

Do đó a + b là số chính phương.

Ta có P(a + b) = ab

          P(c) = c^2 = c^2 - (a +b) c + ab. Suy ra (a + b)c = ab

Do đó c*P(a + b) = c^2(a + b). Suy ra đpcm

Ta có 4x^2 + 4x = 8y^3 - 2z^2 + 4

 Suy ra:     2x^2 + 2x = 4y^3 - z^2 + 2     (1)

Do đó z^2 chia hết cho 2

Nên z = 2k

Thay z = 2k vào (1), ta được

x^2 + x - 1 = 2y^3 - 2k^2

Mâu thuẫn do x^2 + x = x(x+1) là số chẵn

Nên x^2 + x - 1 là số lẻ

6(x - 1/y) = 3(y - 1/z) = 2(z - 1/x) = xyz - 1/xyz

a) Do ABCD là hình vuông nội tiếp (O) nên A, O, C thẳng hàng và B, O, D thẳng hàng

Ta có BOC = 90

          NEC = 90 (E nằm trên nửa đường tròn đường kính AC)

Do đó BOC = NEC. Suy ra tứ giác NOCE nội tiếp

b) Ta có AND = ACE (Tứ giác NOCE nội tiếp )

              ACE = ADE ( = 1/2sđAE)

Suy ra AND = ADE     (2)

Ta có BOC = 90

          BED = 90

Suy ra tứ giác BEMO nôi tiếp 

Suy ra AMD = DBE

           DBE = DAE (=1/2sdDE)

Suy ra AMD = DAE    (3)

Từ (2); (3) suy ra tam giác AND đồng dạng tam giác MDA

Ta có:          (Xin lỗi mình không biết gõ ký hiệu nên viết chữ nha)

Tam giác MAC đồng dạng tam giác MDA

Suy ra MA^2 = MC*MD       (1)

Tam giác MAO vuông tại A có đường cao AH nên MA^2 = MH*MO       (2)

(1); (2) suy ra MC*MD = MH*MO

Suy ra tứ giác CHDO nội tiếp.

Suy ra DHO = DCO = CDO = CHM 

Suy ra DHO = CHM Suy ra DHA = AHC

Suy ra AH là phân giác CHD

Lại có AH vuông góc HM nên HM là phân giác ngoài của góc CHD

Gọi T là giao điểm của DM và AH

Do đó CT/TD = MC/MD (cùng bằng HC/HD theo tính chất phân giác)     (5)

Ta có CI song song AD nên CI/AD = MC/MD      (3)

          CK song song AD nên CK/AD = CT/TD     (4)

Từ (3); (4); (5) suy ra CI = CK

a) Bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn. Suy ra điều phải chứng minh

b)

Ta có MFQ = 180 - (NFD + QFD)

                   = 90 - QBD  (QBD = QFD)

                   = 90 - BCD   ( CBD = DCB Do tam giác BCD cân)

                   = ACB           ( ACB = 90 - DCB)

Do đó MFQ = NCB. Suy ra tứ giác FQNC nội tiếp

Suy ra NQC = NFC = FCN

            CQD = DNC 

Do đó NQD = NQC + CQD = FCN + DNC = 90 (do ND vuông góc FC)

Câu a)

Ta có AH là tiếp tuyến của đường tròn đường kính HC (do AH vuông góc HC)

Suy ra HCD = AHD 

Lại có HCD = BCD = DBA (AB là tiếp tuyến của (O))

Suy ra AHD = DBA 

Suy ra tứ giác BHDA nội tiếp

Do đó BDA = 90

Vậy tâm (I) là trung điểm AB

Câub) Bạn có đánh sai đề không vậy

Ta có:

A/2 + B/2 = pi/2 - C/2

Suy ra tan(A/2 + B/2) = tan(pi/2 - C/2)

Suy ra (tanA/2 + tanB/2)\(1 - tanA/2*tanB/2) = cotgC/2

Suy ra (tanA/2 + tanB/2)*tanC/2 = (1 - tanA/2*tanB/2)

Suy ra điều phải chứng minh

Minh chứng minh chỗ đó thế này:

Gọi d = ƯCLN(a - b; 2a + 2b + 1)

Suy ra (a - b)*(2a + 2b + 1) = b^2 chia hết cho d^2

Suy ra b^2 chia hết cho d^2

Suy ra b chia hết cho d

Suy ra a chia hết cho d

Suy ra 1 chia hết cho d

Ta có n^6 + 2n^5 - n^4 + 2n^2           (1)

      = n^2(n^4 + 2n^3 - n^2 + 2)

Giả sử (1) là số chính phương thì n^4 + 2n^3 - n^2 + 2 = a^2 

Xét n^4 + 2n^3 - n^2 + 2 - (n^2 + n)^2

     =-2n^2 + 2 < 0 với mọi n > 1

Do đó n^4 + 2n^3 - n^2 + 2 < (n^2 + n)^2      (2)

Xét n^4 + 2n^3 - n^2 + 2 - (n^2 + n - 1)^2

     = 2n + 1 > 0 với mọi n > 1

Do đó n^4 + 2n^3 - n^2 + 2 > (n^2 + n - 1)^2   (3)

Từ (2) và (3) suy ra   (n^2 + n - 1)^2 < n^4 + 2n^3 - n^2 + 2 < (n^2 + n)^2

Do đó n^4 + 2n^3 - n^2 + 2 không thể là số chính phương

Suy ra điều giả sử sai

Theo Vi-et: x1 + x2 = -b             (1')

                   x1x2 = c                   (2')

Suy ra x1x2 - (x1 + x2) = c + b = 4      (1)

Lại có  x1 = x2^2 + x2                           (2)

Thay (2) vào (1) ta được (x2^2 + x2)x2 - (x2^2 + x2 + x2) = 4

Suy ra (x2)^3 - 2x2 -4 = 0

Suy ra (x2 - 2)(x2^2 + 2x2 + 2) = 0

Suy ra x2 = 2, thay vào (1) ta được x1 = 6

Thay x2 = 2 và x1 = 6 vào (1') và (2') :

Ta được b = -8 và c = 12 

Ta có x1^2 + x1 - 3 = 0

Suy ra x1^3 + x1^2 - 3x1 = 0

Do đó x1^3 = 3x1 - x1^2

Tương tự -4x2 = 4x2 - 12

Thay vào biểu thức: 4x2 + 3x1 - x1^2 + 7 (1) 

Lại có x1 + x2 = -1

Suy ra 4x2 = 4(-1-x1)

Thay vào (1) ta được -x1 - x1^2 + 3 

Vậy biểu thức cần tính có giá trị bằng 0

Ta có x1^2 + x1 - 3 = 0

Suy ra x1^3 + x1^2 - 3x1 = 0

Do đó x1^3 = 3x1 - x1^2

Tương tự -4x2 = 4x2 - 12

Thay vào biểu thức: 4x2 + 3x1 - x1^2 + 7 (1) 

Lại có x1 + x2 = -1

Suy ra 4x2 = 4(-1-x1)

Thay vào (1) ta được -x1 - x1^2 + 3 

Vậy biểu thức cần tính có giá trị bằng 0