Đến nội dung


Minhnksc

Đăng ký: 23-03-2017
Offline Đăng nhập: 27-06-2021 - 21:08
***--

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Nhóm cơ bản và đồng điều: lý thuyết

23-06-2021 - 13:36

1.Liên thông đường

Định nghĩa 1.1 Một đường trong $X$ là một ánh xạ liên tục $f:I\rightarrow X$. Nếu $f(0)=a$ và $f(1)=b$, ta nói $f$ là một đường từ $a$ đến $b$.

Định nghĩa 2.1 Một không gian $X$ được gọi là liên thông đường nếu, với mọi $a,b\in X$, tồn tại một đường trong $X$ từ $a$ đến $b$.

Định lý 1.3 Nếu $X$ liên thông đường thì $X$ liên thông.

Chứng minh

Nếu $X$ không liên thông thì tồn tại $A,B\neq \varnothing$ là các tập mở trong $X$ sao cho $A\cap B = \varnothing$ và $A\cup B=X$. Lấy $a\in A$ và $b\in B$, xét $f:I\rightarrow X$ là một đường từ $a$ đến $b$. Ta có

\[ f(I)=(A\cap f(I))\cup (B\cap f(I)).\]

Do đó $f(I)$ không liên thông. Điều này mâu thuẫn vì $f(I)$ phải liên thông.     $\square$

Định lý 1.4 Nếu $f:X\rightarrow Y$ liên tục và $X$ liên thông đường, thì $f(X)$ liên thông đường.

Chứng minh

Ta có, với mỗi $y_{1}$, $y_{2}$ $\in f(X)$ thì tồn tại $x_{1}$, $x_{2}$ $\in X$ sao cho $f(x_{1})=y_{1}$, $f(x_{2})=y_{2}$. Do $X$ liên thông đường nên tồn tại $h:I\rightarrow X$ liên tục sao cho $h(0)=x_{1}$, $h(1)=x_{2}$. Xét hàm $g=f \circ h$, khi đó $g:I\rightarrow Y$ liên tục và $g(0)=y_{1}$, $g(1)=y_{2}$ nên $f(X)$ liên thông đường.    $\square$

 

2. Thành phần đường

Định lý 2.1 Nếu $X$ là một không gian topo, thì quan hệ hai ngôi $\sim$ trên $X$ xác định bởi "$a\sim b$ nếu và chỉ nếu có một đường trong $X$ từ $a$ đến $b$" là một quan hệ tương đương.

Chứng minh

  • Tính phản xạ: Nếu $a\in X$, hàm hằng $f:I\rightarrow X$ với $f(x)=a$ $\forall x\in I$ là một đường từ $a$ đến $a$.
  •  Tính đối xứng: Nếu $f:I\rightarrow X$ là một đường từ $a$ đến $b$, thì $g:I\rightarrow X$ sao cho $g(x)=f(1-x)$ $\forall x \in I$ là một đường từ $b$ đến $a$.
  •  Tính bắc cầu: Nếu $f$ là một đường từ $a$ đến $b$ và $g$ là một đường từ $b$ đến $c$ thì $h:I\rightarrow X$ xác định bởi:

      \[  h(t)= \begin{cases} f(2t) \ \text{nếu}\ 0\leq t\leq 1/2 \\ g(2t-1) \ \text{nếu}\ 1/2 \leq t\leq 1.\end{cases}\]

    khi đó $h$ liên tục nên $h$ là đường từ $a$ đến $c$.   $\square$

Định nghĩa 2.2 Các lớp tương đương trong $X$ xác định dưới quan hệ tương đương $\sim$ trong định lí trên được gọi là các thành phần đường trong $X$.

Các thành phần đường của $X$ là các tập con liên thông đường lớn nhất của nó. Hơn nữa, mọi tập con liên thông đường của $X$ là tập con của một thành phần đường duy nhất của $X$.

Định nghĩa 2.3 Ta sẽ kí hiệu tập các thành phần đường trong $X$ là $\pi_{0}(X)$. Đồng thời xác định $\pi_{0}(f):\pi_{0}(X)\rightarrow \pi_{0}(Y)$ là ánh xạ biến mỗi thành phần đường $C\subset X$ thành một thành phần đường của $Y$ chứa $f(C)$.

Định nghĩa ánh xạ $\pi_{0}(f)$ ở trên là một định nghĩa tốt do ảnh của một tập liên thông đường qua một ánh xạ liên tục cũng là một tập liên thông đường, hơn nữa chỉ có duy nhất một thành phần đường $Y$ chứa $f(C)$.

Định lý 2.4 $\pi_{0}:\textbf{Top} \rightarrow \textbf{Sets}$ là một hàm tử. Hơn nữa, nếu $f\simeq g$, thì $\pi_{0}(f)=\pi_{0}(g)$.

Chứng minh

Chúng ta dễ dàng kiểm tra rằng $\pi_{0}$ bảo toàn phần tử đơn vị và bảo toàn phép hợp thành, từ đó kết luận được $\pi_{0}$ là một hàm tử.

Nếu $f\simeq g$ thì tồn tại $F:X\times I\rightarrow Y$ liên tục sao cho $F(x,0)=f(x)\forall x\in X$ và $F(x,1)=g(x)\forall x\in X$. Nếu $C$ là thành phần đường của $X$ thì $C\times I$ là liên thông đường, nên $F(C\times I)$ là liên thông đường. Ta có:

    \[ f(C)=F(C\times {0})\subset F(C\times I)\quad \text{và} \quad F(C\times I)\supset F(C\times {1})=g(C).\]

 Khi đó, thành phần đường $Y$ chứa $F(C\times I)$ cũng chứa $f(C)$ và $g(C)$. Vậy nên $\pi_{0}(f)=\pi_{0}(g)$.    $\square$

Hệ quả 2.5 Nếu $X$ và $Y$ có cùng dạng đồng luân thì $\pi_{0}(X)$ đẳng cấu với $\pi_{0}(Y)$.

Định nghĩa 2.6  Một không gian $X$ được gọi là liên thông đường địa phương nếu, $\forall x\in X$ và mọi lân cận mở $U$ chứa $x$, tồn tại một tập mở V với $x\in V\subset U$ sao cho bất kì hai điểm nào trong $V$ cũng có một đường trong $U$ đi từ điểm này đến điểm kia. 

Định lý 2.7 Một không gian $X$ là liên thông đường địa phương nếu và chỉ nếu các thành phần đường của một taappj mở là tập mở. Nói riêng, nếu $X$ liên thông đường địa phương thì các thành phần đường của nó đều mở.

Chứng minh

Giả sử $X$ là liên thông đường địa phương và $U$ là một tập mở trong $X$. Lấy $C$ là một thành phần đường trong $U$, và với mỗi $x\in C$ tồn tại một tập mở $V$ sao cho $x\in V\subset U$ thỏa mãn với mỗi điểm trong $V$ thì đều có một đường từ điểm đó tới $x$ trong $U$. Vì thế mỗi điểm trong $V$ đều thuộc cùng một thành phần đường chứa $x$ nên $V\subset C$. Vậy, $C$ mở.

Ngược lại, cho $U$ là một tập mở trong $X$, với $x\in U$, gọi $V$ là thành phần đường của $x$ trong $U$. Theo giả thiết $V$ mở. Vậy nên $X$ là liên thông đường địa phương.      $\square$

Hệ quả 2.8  $X $ liên thông đường địa phương nếu vầ chỉ nếu, với mỗi $x\in X$ và với mỗi lân cận mở $U$ của $x$ tồn tại một tập mở liên thông đường $V$ sao cho $x\in V\subset U$.

Hệ quả 2.9 Nếu $X$ liên thông đường đại phương thì các thành phần của mỗi tập mở trùng với các thành phần đường của nó. Đặc biệt, các thành phần của $X$ trùng với các thành phần đường của $X$.

Hệ quả 2.10 Nếu $X$ liên thông và $X$ liên thông đường địa phương thì $X$ liên thông đường.


Trong chủ đề: Sir Michael Atiyah đưa ra chứng minh mới cho giả thuyết Riemann

20-09-2018 - 22:00

 

Title: The Riemann Hypothesis

 

Abstract: The Riemann Hypothesis is a famous unsolved problem dating from $1859$. I will present a new simple proof using a radically new approach. It's based on work of von Neumann ($1936$), Hirzebruch ($1954$), Dirac ($1928$).

 

Cực kì phấn khích vì tin này dù chưa biết sẽ ra sao.

Ơ em tưởng cái up trên fb là meme; hóa ra thật à :D :D


Trong chủ đề: Tìm số người nói thật nhiều nhất có thể

12-08-2018 - 12:14

Các bạn học sinh xếp hàng dọc sao cho đếm từ trái sang, hàng thứ nhất có n bạn, hàng thứ 2 có n-1 bạn,... cho đến hàng thứ n có 1 bạn. Các bạn đều quay mặt về phía hàng thứ nhất. Ví dụ với $n=5$ (mỗi dấu * đại diện cho một bạn):

*

* *

* * *

* * * *

* * * * * (hàng thứ nhất)

Mỗi bạn được phép chọn duy nhất một mệnh đề trong 2 mệnh đề dưới đây để phát biểu ( trừ bạn đứng đầu hàng):

 

Mệnh đề 1: "Bạn trước mặt mình là người nói thật, bạn bên trái của bạn trước mặt mình là người nói dối."

 

Mệnh đề 2: "Bạn trước mặt mình là người nói dối, bạn bên trái của bạn trước mặt mình là người nói thật."

 

Với n=2015. Hãy tìm số người nói thật nhiều nhất có thể

 

P/s: Mọi người giải thích kĩ giúp mình một chút :D , nói thật nói dối nó cứ loạn xì ngầu ra ấy :D

Xin phép đào mộ tí :D; bài này anh chôm từ VMEO mà. Đề có ở đây

https://diendantoanh...-toán-xếp-hàng/

Ý là mỗi học sinh được chọn một trong hai mệnh đề trên [trừ bạn đầu hàng ra]; và các bạn đầu hàng là nói dối hoặc nói thật tùy ý. Khi đó các bạn đứng liền trước với các bạn đầu hàng kiểm tra xem mệnh đề mình chọn có đúng hay ko [Nếu đúng thì là nói thật; sai thì ngược lại]; Quá trình tiếp tục cho đến bạn cuối cùng. Khi đó đếm số bạn nói thật ra. Mục đích là các bạn ko đứng đầu hàng sẽ chọn mệnh đề và các bạn đứng đầu hàng sẽ nói dối hoặc thật sao cho ng nói thật nhiều nhất :D


Trong chủ đề: 1+1=''Quả cam" ?

22-07-2018 - 20:34

Hãy sử dụng các kiến thức đã học qua để cmr

1+1= "Quả cam"

P/s: Nghiêm cấm tuyên truyền dưới mọi hình thức tới trẻ em dưới 6 tuổi và trẻ em đang tính bằng que tính :icon6:

1+1 khác "Quả cam" chứ

Một nửa cái phao cộng với một nửa cái phao sao thành hình cầu được :D


Trong chủ đề: Đề thi IMO 2018

10-07-2018 - 18:45

Ngày thi thứ hai:

[Mình lười không đánh latex nên chỉ có thế này thôi :D]

File gửi kèm  36937009_2159115877704465_8505443157834465280_n.jpg   60.59K   160 Số lần tải