Anh nghĩ chuyên đề này nên đi sâu vào nhiều kĩ thuật sử dụng và các dạng bđt Cauchy khó hơn; lạ hơn và đa dạng hơn vì những kỹ thuật cơ bản thì đã được đề cập nhiều trong các sách vở; trên các buổi học đội tuyển và trong các topic ôn thi học sinh giỏi lớp 9 các năm trước. Sau đây là một số bài toán (cũng chưa khó lắm) về bđt Cauchy mà a sưu tầm được:
Bài toán 9; (Tuyển sinh vào chuyên toán LHP Nam định 2017-2018)
Xét các số thực $a,b,c$ không âm, khác 1 và thỏa mãn $a+b+c=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ac}+(a+b)(4+5c)$
Bài toán 10: (BĐT Holder) Cho các số thực dương $a;b;c;x;y;z;m;n;p$. Chứng minh rằng: $(a+b+c)(x+y+z)(m+n+p)\geq (\sqrt[3]{axm}+\sqrt[3]{byn}+\sqrt[3]{czp})^3$
Ngoài lề (nói thêm về BĐT Holder) : Dạng tổng quát của BĐT Holder; cho m bộ số thực dương $(a_{1,1};a_{2,1};...;a_{n;1}); (a_{1,2};a_{2,2};...a_{n,2});...;(a_{1,m};a_{2,m};...;a_{n,m})$ thì ta có
$\prod^{m}_{i=1}(\sum^{n}_{j=1}a_{i,j})\geq \left(\sum^{n}_{j=1}\sqrt[m]{\prod^{m}_{i=1}a_{i,j}} \right)^m (*)$
Hệ quả quen thuộc của BĐT Holder chính là BĐT Cauchy-Schwarz (hay còn được gọi với cái tên là Bunyacoxki):
$(a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{n}^2)(b_{1}^2+b_{2}^2+...b_{n}^2)\geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^2$
và hệ quả quen thuộc thứ hai chính là bài toán số 10 ; khi này $m=n=3$.
Một hệ quả nữa cũng hay dùng dối với BĐT Holder
$\prod^{m}_{i=1}(1+x_{i})\geq (1+\sqrt[m]{\prod^{m}_{i=1}x_{i}})^m$
- Tea Coffee, MoMo123, minhducndc và 2 người khác yêu thích