DOTOANNANG

1/ Cho a, b, c là các số thực dương, a+b+c=3. C/m $abc +\frac{12}{ab+bc+ca}\geq 5$ ?

2/ Cho a, b, c $\geq$ 0, thỏa mãn: ab + bc+ ca + abc =4. C/m $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc\geq 10$ ?

3/ Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn : ab + bc + ca =3 . C/m $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{a+b+c}{6}+\frac{3}{a+b+c}$

4/ Cho a, b, c $\epsilon (0;1)$ thỏa mãn : abc = (1-a)(1-b)(1-c). C/m $a^{3}+b^{3}+c^{3}+5abc\geq 1$

Thật ra bài 1 còn cách khác nữa.

Bằng cách dùng bất đẳng thức Schur bậc ba ta có:

$\left ( a+ b+ c \right )^{3}+ 9abc\geq 4\left ( a+ b+ c \right )\left ( ab+ bc+ ca \right ) \Rightarrow 3abc\geq 4\left ( ab+ bc+ ca \right )- 9 \Leftrightarrow 4\left ( ab+ bc+ ca \right )- 9+ \frac{36}{ab+ bc+ ca}\geq 15. dpcm\Leftrightarrow \left ( ab+ bc+ ca- 3\right )\geq 0$.

Bất đẳng thức trên luôn đúng.

Dấu bằng xảy xa khai và chỉ khi: (a, b, c)=(1, 1, 1)

Không mất tính tổng quát giả sử a là số lớn nhất trong ba số a, b, c.Ta có:

$a^{2}+ b^{2}+ c^{2}- ab- bc- ca\doteq \left ( a- b \right )\left ( a- c \right )+ \left ( b- c \right )^{2}\geq 0$.

Mặt khác ta có a, b, c là 3 cạnh cua tam giác nên:

$2ab+ 2bc+ 2ca- a^{2}- b^{2}- c^{2}= a\left ( b+ c- a \right )+ b(c+ a- b)+ c(a+ b- c)\geq 0$

Suy ra được điều phải chứng minh.

Cách này sử dụng tính chất đồng biến nghịch biến của hàm số bậc nhất ở lớp 9 anh mới học năm ngoái. Tuy hơi rườm rà và không đẹp mắt nhưng dễ làm hơn cách cách trên. Sẵn tiện đồng biến nghịch biến còn có thể dùng trong giải hệ mà anh lại chuyên về cái này. Sau này nhớ post thêm vài bài bất đẳng thức nữa nha.

Cách này thì sao:

"Từ gt ta có: 0<= x,y,z<= 1

Suy ra xy+ yz+ zx- 2xyz= xy+ yz(1- x)+ zx(1- y)>=0

Mặt khác từ giả thiết và bất đẳng thức AM-GM (Cauchy ) ta được:$\mathit{yz\leq \frac{(y+z)^{2}}{4}}= \frac{(1-x)^{2}}{4}$

Ta cần chứng minh: xy+ yz+ zx- 2xyz<= 7/27

Suy ra: f( yz)=(1- 2x)yz+ x(1- x)-7/27<=0

Nếu x=0,5 thì f( yz)= -1/108<0  (đúng)

Nếu x khác 0,5 thì f( yz) là hs bậc I: f( yz)<= 0 dẫn đến

f( x)<= 0 và $f\left ( \frac{(1- x)^{2})}{4} \right )\leq 0$

Thật vâỵ

$f\left ( 0 \right )= x\left ( 1-x \right )-\frac{7}{27}= -\left ( x-0,5 \right )^{2}-\frac{1}{108}\leq 0$

$f\left ( \frac{(1-x)^{2})}{4} \right )\doteq (1-2x) \frac{\left ( 1-x \right )^{2}}{4}+ x\left ( 1- x \right )- \frac{7}{27} =\frac{-1}{108}\left ( 6x+1 \right )(3x- 1)^{2}\leq 0$(do 0<= x <=1)

Cho $f\left ( x\right )$ là đa thức bậc 2010 sao cho $f\left ( k \right )\doteq \frac{1}{k}$ với $k\in \left \{ 1;2;...;2011 \right \}.$ Tìm $f\left ( 2012 \right )$.

Cho tam giác ABC nhọn, không cân có BC=a, CA=b, AB=c. Gọi (AD, AG), (BE, BI), (CF, CK) lần lượt là đường trung tuyến và đường cao của tam giác ứng với các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng:

$\frac{a^{2}}{b^{2}-c^{2}}.\vec{DG}+ \frac{b^{2}}{c^{2}-a^{2}}.\vec{EI}+ \frac{c^{2}}{a^{2}-b^{2}}.\vec{FK}= \vec{0}$

Chứng minh rằng:

$\sqrt{2014^{2}-1^{2}}+\sqrt{2014^{2}-2^{2}}+...+\sqrt{2014^{2}-2013^{3}}< \pi .2017^{2}$

Cho hàm số $f(x)= a \sin (x+1001)+ \cos 1002x$, trong đó $a$ là số thực cho trước. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên $\mathbb{R}.$ Chứng minh rằng $M^{2}+ m^{2}\geq 2.$

Cho dãy Fibonacci $(u_{n})$ xác định như sau:

$\left\{\begin{matrix} u_{0}=0\\ u_{1}=1\\ u_{n+1}=u_{n}+u_{n-1} \end{matrix}\right.$

CM: $u_{2016}\vdots u_{672}.$

Cho các số dương $x,a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $x^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$. CMR:

$\frac{a}{x+2a}+\frac{b}{x+2b}+\frac{c}{x+2c}\leq \frac{3}{\sqrt{3}+2}.$

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường thẳng $d: y = \frac{3}{2}x +\frac{1}{3};a,b$ là hai đường thẳng phân biệt song song và cách đều $d$ một khoảng bằng $\frac{1}{13}.$ Chứng minh rằng trong miền mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ với biên là $a,b$ không có  điểm nguyên nào.

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác:

CM:a²b(a-b)+b²c(b-c)+c²a(c-a)>=0

(dùng khai triển abel)

Kí hiệu [a] là phần nguyên của số a.

Tổng A= $[\sqrt{1}]+ [\sqrt{2}]+ [\sqrt{3}]+ ...+ [\sqrt{24}]=$

Đáp án:

A.65

B.70

C.72

D.75

$Biết  a  là  giá  trị  nhỏ  nhất  của  hàm  số  y= x^{2}  với  -3\leq x\leq 1  và  b  là  giá  trị  nhỏ  nhất  của  hàm  số  y= -x^{2}  với  1\leq x\leq 4.  Giá  trị  của  a +  b  bằng  ............................$ 

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$F_{(x)} = \frac{2012x- 2013\sqrt{1- x^{2} }+ 2014}{\sqrt{1- x^{2}}}+ 2\sqrt{2013}$ là .................................