Nguyen Xuan Hieu

Bài 53. Cho đường tròn tâm O. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến MA, MC (A, C là tiếp điểm), B thuộc cung lớn AC sao cho MB nằm giữa MO và MC. Tia MB cắt đường tròn tại Q khác B, cắt CA tại N.

        a) Gọi T là trung điểm của BQ. Chứng minh rằng MQ.MB=MN.MT

        b) Gọi K là điểm đối xứng với C qua B. Qua Q kẻ đường thẳng song song với BC cắt CM tại H. Chứng minh rằng QH, AC, MK đồng quy.

a)$MQ.MB=MA^2$(Do tam giác $MAQ$ đồng dạng tam giác $MBA$)

Mặt khác do $T$ là trung điểm $BQ$ nên $\widehat{OTQ}=90^0$. Từ đó suy ra 5 điểm $M,A,T,O,C$ thuộc một đường tròn.

$\Rightarrow \widehat{MAC}=\widehat{MCA}=\widehat{ATM}$

Từ đó $\Delta MAN \sim \Delta MTA \Rightarrow MN.MT=MA^2$

Do đó $MN.MT=MQ.MB$

b)Tứ giác $AQCB$ điều hòa

$\Rightarrow QB.AC=2AB.QC(*)$
Gọi $W$ là giao điểm của $AC$ và $MK$

$\Rightarrow Q$ là trung điểm của $HW$(Do $HW \parallel CK$ và $BC=BK$)

Gọi $W'$ là giao điểm của $AC$ và $HQ$

$\Delta HQC \sim \Delta QCB \Rightarrow HQ/HC=QC/QB$

$\Delta HCW' \sim \Delta ABC \Rightarrow HW'/HC=AC/AB$

Do (*) $\Rightarrow HW'=2HQ$

Do đó $Q$ là trung điểm $HW'$

Từ đó suy ra $W' \equiv W$(DPCM)
Hình gửi kèm
 

neu ton tai cau lac bo co 1 hoc sinh thi sao

ý bạn là sao?

Giả sử all câu lạc bộ đều không quá 8 h/s.
Gọi A là số câu lạc bộ.
Xét $A>4$ chọn 5 câu lạc bộ lấy 2 h/s mỗi câu lạc bộ thì được 10 bạn h/s và 10 bạn h/s này thì không thỏa mãn đk đề bài.
Xét $A<4$ thì max h/s của các clb là $3x8=24$ học sinh vậy nên sẽ còn $11$ học sinh còn lại mỗi người tham gia một câu lạc bộ riêng biệt. Hiển nhiên bóc đại 10 h/s trong này cũng chả thỏa mãn đề bài.
Vậy nên $A=4$.

Số học sinh tham dự clb max sẽ là $32$ học sinh vậy nên sẽ có $3$ học sinh, mỗi h/s tham gia mỗi clb riêng biệt.
Chọn $2$ h/s thuộc nhóm trên kết hợp lấy mỗi clb trong 4 clb ban đầu 2 h/s thì hiển nhiên cũng không thỏa mãn đề bài.
Vậy nên ta có điều phải chứng minh...

Gọi hai chữ số của $n$ là $ab$(Điều kiện $0<a \leq 9,0 \leq b \leq 9$ và $a,b \in mathbb{N})$
Theo đề bài ta có:$10a+b$ chia hết cho $ab$.(*)
Do đó $10a+b$ chia hết cho $a$
Hay $b$ chia hết cho $a$.
Đặt $b=ak$(Bạn tự xem đk của $k$ nhé) thay vào (*) ta được:
$a(10+k) \vdots ab \\\Leftrightarrow 10+k \vdots b$ hay $10 \vdots k$ do $b \vdots k$.
Từ đây dễ dàng tìm được $q=1,2,5,10$
Kết hơp điều kiện ban đầu giới hạn $a,b$ dễ dàng tìm được các số thỏa mãn

có vài tài liệu hay đầu tiên là cuốn sách của Nguyễn Tất Thu
thứ 2 là tài liệu tổ hợp của thầy Trần Nam Dũng thứ 3 là cuốn tuyển tập 200 bài toán thi vô địch toán (tập 7: tổ hợp) và nhiều phần tổng hợp các bài hay từ đề thi các tỉnh thành phố và quốc gia trên thế giới

Bác cho tôi xin với nhé. Mail: [email protected]