Bài 53. Cho đường tròn tâm O. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến MA, MC (A, C là tiếp điểm), B thuộc cung lớn AC sao cho MB nằm giữa MO và MC. Tia MB cắt đường tròn tại Q khác B, cắt CA tại N.
a) Gọi T là trung điểm của BQ. Chứng minh rằng MQ.MB=MN.MT
b) Gọi K là điểm đối xứng với C qua B. Qua Q kẻ đường thẳng song song với BC cắt CM tại H. Chứng minh rằng QH, AC, MK đồng quy.
a)$MQ.MB=MA^2$(Do tam giác $MAQ$ đồng dạng tam giác $MBA$)
Mặt khác do $T$ là trung điểm $BQ$ nên $\widehat{OTQ}=90^0$. Từ đó suy ra 5 điểm $M,A,T,O,C$ thuộc một đường tròn.
$\Rightarrow \widehat{MAC}=\widehat{MCA}=\widehat{ATM}$
Từ đó $\Delta MAN \sim \Delta MTA \Rightarrow MN.MT=MA^2$
Do đó $MN.MT=MQ.MB$
b)Tứ giác $AQCB$ điều hòa
$\Rightarrow QB.AC=2AB.QC(*)$
Gọi $W$ là giao điểm của $AC$ và $MK$
$\Rightarrow Q$ là trung điểm của $HW$(Do $HW \parallel CK$ và $BC=BK$)
Gọi $W'$ là giao điểm của $AC$ và $HQ$
$\Delta HQC \sim \Delta QCB \Rightarrow HQ/HC=QC/QB$
$\Delta HCW' \sim \Delta ABC \Rightarrow HW'/HC=AC/AB$
Do (*) $\Rightarrow HW'=2HQ$
Do đó $Q$ là trung điểm $HW'$
Từ đó suy ra $W' \equiv W$(DPCM)
Hình gửi kèm
- Khoa Linh, Korkot, Minhcamgia và 1 người khác yêu thích