linhk2

Tìm tất cả các ước của đơn vị trong mỗi vành $\mathbb{Z}\left [ i \right ], \mathbb{Z}\left [ \surd 2 \right ], \mathbb{Z}\left [ i\surd 3 \right ]\!$.

Có P$\geq \frac{x+y}{\sqrt{(x+y)(3x+3y)}}$ ( BĐT Bunhiacopxki )

        $\doteq \frac{\sqrt{3}}{3}$

ĐTXR $\Leftrightarrow x\doteq y$

$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2020}$

ta có $\sqrt{2020}=2\sqrt{505}$

đặt : $\sqrt{x}=a.\sqrt{505}$; $\sqrt{y}=b.\sqrt{505}$ (a,b>=0)

có: a+b=2 suy ra a,b suy ra x,y?

mk không làm thế

PT$\Leftrightarrow \sqrt{x}\doteq \sqrt{2020}-\sqrt{y}$

     $\Leftrightarrow x\doteq 2020+ y- 4\sqrt{505y} \Rightarrow \sqrt{505y}$ là 1 số nguyên 

$\Rightarrow y\doteq 5.101.b^{2}$với $b\in \mathbb{N}$

CMTT $x\doteq 5.101.a^{2}$ với $a\in \mathbb{N}$

Thay vào ptr ban đầu được: a+b=2 

Đến đấy lập bảng là ok

Chưa thấy ai up nên mình up để mn tham khảo

nguồn: tuyển sinh 247

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c\doteq 3$

Tìm $MaxP\doteq \sum a\sqrt{b^{3}+1}$

Cho $a,b,c> 0$ với $abc\doteq 1$

Tìm Min $P\doteq \sum \frac{1}{a^{17}+a^{15}+1}$

CMR: $\sum \sqrt{x^{2}+4} \geq \sqrt{2}(x+y+z)$

Cho a,b,c>0 và a+b+c=1

CMR:$\sqrt{a+\frac{(b-c)^{2}}{4}}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq \sqrt{3}$

Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} 5x^{2}+2y^{2}+z^{2}=2 & & \\ xy+yz+zx=1 & & \end{matrix}\right.$

Bản chuẩn:Cho a,b,c>0. CMR

$(a^{3}+b^{3}+c^{^{3}})(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}})\geq \frac{3}{2}(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c})$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

P$\geq$3$\sqrt[3]{\frac{(yz+1)(xz+1)(xy+1)}{xyz}}= 3\sqrt[3]{(y+\frac{1}{x})(z+\frac{1}{y})(x+\frac{1}{z})}\geq 3\sqrt[3]{8}\doteq 6$ ( BĐT Cauchy )

 

 

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

P$\geq$3$\sqrt[3]{\frac{(yz+1)(xz+1)(xy+1)}{xyz}}= 3\sqrt[3]{(y+\frac{1}{x})(z+\frac{1}{y})(x+\frac{1}{z})}\geq 3\sqrt[3]{8}\doteq 6$ (BĐT Cauchy)

Bạn vào đề thi chuyên Thái Bình mà xem!

Ta có: $P=\sum \sqrt{3a^{2}+2ab+3b^{2}}\doteq \sum \sqrt{(a-b)^{2}+2(a+b)^{2}}\geq \sum \sqrt{2}(a+b) \geq \frac{2\sqrt{2}}{3}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}\doteq 6\sqrt{2}$

Bài 2: Đặt $x^{2}=\frac{1}{a^{2}};y^{2}=\frac{1}{b^{2}};z^{2}=\frac{1}{c^{2}}\Rightarrow abc=1$

Ta có:$\sum \frac{x^{2}y^{2}}{2x^{2}+y^{2}+3x^{2}y^{2}}= \sum \frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}\doteq \sum \frac{1}{(a^{2}+b^{2})+(b^{2}+1)+2}\leq \sum \frac{1}{2ab+2b+2abc}\doteq \frac{1}{2}$

Max:

Ta có:$\sqrt{a}+\sqrt{b}\doteq 1\Leftrightarrow a+b=1-\sqrt{ab}$

$P^{2}\doteq a+b+16+2\sqrt{(a+8)(b+8)}$

           $\doteq 17-2\sqrt{ab}+2\sqrt{ab+8a+8b+64}$

           $\leq 17+2\sqrt{ab-16\sqrt{ab}+72}$

           $\leq 17+\sqrt{72}$

$\Rightarrow P\leq 3+\sqrt{8}$

ĐTXR$\Leftrightarrow$ (a;b) là hoán vị của (0;1)