AGFDFM

Chứng minh phương trình $x^{3}+y^{3}=(x+y)^{2}+x^{2}y^{2}$ không có nghiệm nguyên dương.

1) Đặt $a=x+y; b=xy; d=(a,b);a=da_1;b=db_1; (a_1,b_1)=1$

2) Viết lại phương trình theo $a_1,b_1$.Từ đó dễ thấy $a_1=1$. Có a,b theo b_1

3)Do a,b là nghiệm của phương trình $X^2-aX+b=0$ nên Delta là số chính phương.Chặn 2 đầu số chính phương có pt vô nghiệm

Tìm đa thức hệ số nguyên $P(x)$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$ ta đều có $P(n)$ là ước của $2^n-1$.

https://diendantoanh...177555-fn-pn-1/

Bờm và cuội mua được túi hạt dẻ gồm n hạt. Để chia phần chúng chia như sau:

Các đối thủ thay nhau thực hiện một nước đi.. Đối thủ dến phiên đi sẽ bốc một số lượng hạt dẻ là một số dương không vượt quá số nguyên m cho trước.Đối thủ nào thực hiện bôc những hạt dẻ cuối cùng khỏi túi sẽ được sẽ được ăn tất cả những hạt dẻ mà mình bốc được, còn đối thủ kia sẽ phải bỏ toàn bộ phần hạt dẻ của mình vào hộp và trò chơi bắt đầu từ đối thủ "không được ăn" này. Trò chơi được tiếp diễn cho đến khi tất cả các hạt dẻ đều bị ăn hết. Giả sử bờm đi trước thì bờm sẽ ăn được tối đa bao nhiêu hạt

Giải hệ pt
4√x+1 -xy√y^2+4 =0
√x^2-x*y^2+1 +3√x-1=x*y^2
Nhờ a chị giải giúp e bài này

ĐKXĐ: $x\geq 1; y> 0$

pt1:$\sqrt {\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}=\sqrt\frac{y^4+4y^2}{16}=\sqrt{\frac{y^{2}}{4}^{2}+\frac{y^{2}}{4}}$

từ đó có $xy^{2}=4$

Phương trình thứ 2 chỉ cần trừ liên hợp sẽ ra.

Giải hệ pt
4√x+1 -xy√y^2+4 =0
√x^2-x*y^2+1 +3√x-1=x*y^2
Nhờ a chị giải giúp e bài này

Tìm x,y thuộc Z thỏa xy=p(x+y) với p nguyên tố.

$(x-p)(y-p)=p^{2} $

Do $x-p\in Z$,  $y-p\in Z$ nên xét các trường hợp $(\pm 1;\pm p^{2}),(\pm p;\pm p)$.

Giải phương trình:  $cosx-sin2x=\sqrt{3}cos2x+\sqrt{3}sinx$

$cosx-sin2x=\sqrt{3}cos2x+\sqrt{3}sinx$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}cosx-\frac{\sqrt{3}}{2}sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x+\frac{1}{2}sin2x$

$\Leftrightarrow sin(\frac{5\Pi }{6}+x)=sin(\frac{\Pi}{3}+x)$.

Cho tam giác $ABC$, $H$ trực tâm, $M$ trung điểm $BC$
$D \in AB$
$E \in AC$
$D,E,H$ thẳng hàng và $AD=AE$
$F$ là giao của $(ADE)$ và $(ABC)$
chứng minh $AF \perp HM$

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì AH,AO là các đường đẳng giác của góc BAC. 

 AO cắt (O) tại P thì H,M,P thẳng hàng.

Kẻ phân giác AI của góc BAC($I\in HM$),Thì AI là phân giác góc HAM do đó $\frac{AH}{AP}=\frac{HI}{IP}=\frac{AH}{2R}= \frac{OM}{R}=\cos \angle MOC =\cos A$

HC cắt AB tại F dễ chứng minh HD là phân giác góc FHB nên $\frac{HF}{HB}=\frac{DF}{DB}=\cos A$

nên $\frac{DF}{DB}=\frac{HI}{IP}$ mà $HF\parallel PB$ do đó  $HF\parallel ID$ nên $\angle IDA=90$.

HM cắt (O) tại F' thì $\angle AF'I=90$. Nên có $F' \in(ADE)$ do đó F'trùng F.

Mình có cách này không biết có được không , ta có : $-[x]+7\in Z; 0\in Z \rightarrow x^{2}\in Z\rightarrow x\in Z$

$\rightarrow [x]=x$ sau đó thay vào giải PT bậc 2 

$x^{2}$ nguyên thì x có thể có dạng $x=\sqrt{n}$ với n tự nhiên,nên không thể suy ra như thế được.

Giải PT: $x^{2}-8[x]+7=0$ trong đó $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$ và $x \geq 0$

$8(x-1)\leq x^{2}+7=8\left [ x \right ]\leq 8x$

từ đó có $1\leq x\leq 3$.Khi đó $\left [ x \right ]= 1$;$\left [ x \right ]= 2$;hoặc$ \left [ x \right ]= 3$

hoặc $5\leq x\leq 7$.Khi đó $\left [ x \right ]= 5$;$\left [ x \right ]= 6$;hoặc$ \left [ x \right ]= 7$

Thử từng trường hợp và loại nghiệm.

Cho tam giác ABC vuông tại A, ( AB < AC) ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn vs các cạnh AB, AC, BC . BO cắt EF tại I, M là điểm di động trên CE.

               a)  Tính góc BIF = ?

               b)  Gọi H là giao điểm của BM và EF. CMR: nếu AM = AB thì tam giác ABHI nội tiếp.

               c)  N là giao điểm của BM và cung  nhỏ EF của đường tròn tâm O, P và Q lần lượt là hình chiếu của N trên cạnh DE, DF. 

               Xác định vị trí của M để PQ đạt giá trị lớn nhất.

c) Do $\angle EDF$ không đổi 

lấy N' đối xứng với N qua DE

      M' đối xứng với N qua DF

N'M'=2PQ nên cần tìm vị trí N trên cung nhỏ EF để N'M' max  do tam giác N'DM' cân tại D có góc ở đỉnh không đổi cạnh bên = DM nên M'N' đạt mã nếu cạnh bên đạt max hay DM max do đó DM qua O

bản giải luôn hộ hình phần c,e bài 1 trong cái ảnh trên được k

e)$\sqrt{13+\sqrt{48}}=\sqrt{12-+2\sqrt{12}+1}=\sqrt{12}+1$

$\sqrt{5-(\sqrt{12}+1)}=\sqrt{(4-2\sqrt{3})}=\sqrt{3}-1$

$2\sqrt{3+\sqrt{3}-1}=\sqrt{2}*\sqrt {4+2\sqrt{3}}=\sqrt {2}(\sqrt{3}+1)=\sqrt {6}+\sqrt{2}$