Đến nội dung

M4st3r of P4nstu

M4st3r of P4nstu

Đăng ký: 04-05-2017
Offline Đăng nhập: 26-05-2019 - 22:33
*****

#711996 Chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau và 3 điểm thẳng hàng

Gửi bởi M4st3r of P4nstu trong 05-07-2018 - 11:39

a. Hệ thức lượng

b. $\Delta ACD$ vuông tại $C$ có $M$ trung điểm $\Rightarrow MA=MC=MD=\frac{1}{2}AD$

Lại có $OA=OC=R \Rightarrow \Delta OAM=\Delta OCM$(c_c_c) $\Rightarrow$ đpcm

c. Hệ quả Thales: $\frac{KC}{MD}=\frac{KH}{MA}=\frac{BK}{BM} \Rightarrow KC=KH$

$AC$ cắt $BN$ tại $P$. Áp dụng hệ quả Thales như trên ta có $NB=NP$, áp dụng câu b. ta có $PC$ tiếp tuyến $(O)$

Vậy $M, C, N$ thẳng hàng(Cùng $\perp$ $OC$)




#711995 Tính diện tích theo bán kính

Gửi bởi M4st3r of P4nstu trong 05-07-2018 - 11:27

a. Cùng $\perp$

b. Hệ thức lượng $+$ Phương tích

c. Ta có $H$ trung điểm $BC$ và $O$ trung điểm $BT$ $\Rightarrow$ $E$ trọng tâm $\Delta BTC$

Dễ tính $\widehat{BTC}=2\widehat{TBC}=60^o \Rightarrow \Delta BTC$ nửa đều $\Rightarrow S_{\Delta BTC}=\frac{R^2\sqrt{3}}{2}$

$E$ trọng tâm $\Delta BTC \Rightarrow \frac{S_{\Delta BET}}{S_{\Delta BDT}}=\frac{TE}{TD} \Rightarrow S_{\Delta BET}=\frac{2}{3}S_{\Delta BTD}=\frac{1}{3}S_{\Delta BTC}=\frac{R^2\sqrt{3}}{6}$




#711979 $(x+1)^4+(3-x)^4=82$

Gửi bởi M4st3r of P4nstu trong 04-07-2018 - 20:12

Đặt $a=x+1, b=3-x$

Ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} a+b=4 \\ a^4+b^4=82 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} a+b=4 \\ ((a+b)^2-2ab)^2-2a^2b^2=82 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} a+b=4 \\ a^2b^2-32ab+87=0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} a+b=4 \\ (ab-3)(ab-29)=0 \end{matrix}\right.$

Đến đây áp dụng Viete đảo là ra (a,b).




#711975 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O)

Gửi bởi M4st3r of P4nstu trong 04-07-2018 - 19:05

1. Góc $90^o$

2. $\widehat{AKB}=\widehat{ACB}=\widehat{BKD} \Rightarrow$ đpcm

3. Nhận thấy $D, E, I$ là 3 điểm trên đường thẳng Simson của $\Delta ABC$(Chứng minh bằng các tứ giác $BAKC$ và $KEDC$ nội tiếp $\Rightarrow KI \perp AB$

Kẻ tiếp tuyến $Ax$ của $(O)$ tại $A$ $\Rightarrow Ax // EH \Rightarrow\widehat{xAB}=\widehat{AHE}=\widehat{ACB} \Rightarrow BHEC$ nội tiếp hay $CH \perp AB$

Vậy $CH // KI$ (cùng $\perp$ AB)




#711973 Giải phương trình chứa căn thức khó

Gửi bởi M4st3r of P4nstu trong 04-07-2018 - 18:43

Đặt $a=\sqrt[3]{x} , b=\sqrt[3]{35-x}$

Phương trình thành: $a+b=5$

Ta có hệ: 

$ \left\{\begin{matrix} a+b=5\\ a^3+b^3=35 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} a+b=5 \\ (a+b)^2-3ab=7 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} a+b=5\\ab=6 \end{matrix}\right.$

Áp dụng Viete đảo $\Leftrightarrow (a,b)=(2,3)$

Từ đó suy ra $x=8$ hoặc $x=27$

$S={8;27}$




#711863 Cho a b>0 va a+b$\leq$4 Tim min P=$\frac{20...

Gửi bởi M4st3r of P4nstu trong 02-07-2018 - 16:07

Ta có $ab \leq \frac{(a + b)^2}{4} \leq 4$

$P = \frac{12}{2ab} + \frac{12}{a^2 + b^2} + 9ab + \frac{144}{ab} + \frac{1860}{ab} \geq \frac{12.4}{(a + b)^2} + 2\sqrt{\frac{9ab.144}{ab}} + \frac{1860}{4} \geq 3 + 72 + 465 =540$
"$=$" xảy ra khi $a=b=2$


#711802 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O)

Gửi bởi M4st3r of P4nstu trong 30-06-2018 - 14:37

a) Dễ thấy $AO // IK$ ( cùng $\perp MN$)

Ta có $\widehat{BAK} + \widehat{ABC} = \widehat{BAK} + \widehat{ANM} = \frac{180^{\circ} - \widehat{AKM}}{2} + \frac{\widehat{AKM}}{2} = 90^{\circ} \Rightarrow AK \perp BC \Rightarrow AK // OI \Rightarrow đpcm$

b) $AK \cap (K;KA) = {P} \Rightarrow AP$ đường kính $(K)$ và $\widehat{ADP} = 90^{\circ}$

Ta có $PK = AK = OI$ và $AP // OI$ (cmt) $\Rightarrow PKOI$ hình bình hành $\Rightarrow OK // IP$

Mà $OK // DP$ (cùng $\perp AD$) Do đó $D$, $P$, $I$ thẳng hàng $\Rightarrow$ đpcm

 




#711801 Chứng minh góc bằng nhau

Gửi bởi M4st3r of P4nstu trong 30-06-2018 - 14:05

a) $IE = r = R(\sqrt 2 - 1)$

b) $(I) \cap (O) = {P}$

 

Kẻ tiếp tuyến $(O)$ tại $P$, cắt $OB$, $OC$ tại $M$, $N$

Nhận thấy $I$ là tâm nội tiếp $\Delta OMN \Rightarrow MI$ phân giác $\widehat{OMN}$ $\Rightarrow \widehat{OMI} = \widehat{IMN} = 22,5^{\circ}$

Dễ tính $OM = ON = R\sqrt 2 \Rightarrow BM = CN = R(\sqrt 2 - 1)$

Ta lại có $IE \left |  \right | OM \Rightarrow IEBM$ là hình bình hành

Do đó $\widehat{OBE} = \widehat{EBC} = 22,5^{\circ}$

Ta lại có $\widehat{ADO} = 180^{\circ} - \widehat{DOB} - \widehat{BOI} = 45^{\circ} \Rightarrow \widehat{ABD} = \frac{1}{2}\widehat{AOD} = 22,5^{\circ}$

Vậy $\widehat{ABD} = \widehat{ABO} = \widehat{OBE} = \widehat{EBC} = 22,5^{\circ}$

 
 



#693141 Chứng minh hai đường tròn $(I)$ và $(K)$ luôn cắt nhau.

Gửi bởi M4st3r of P4nstu trong 16-09-2017 - 14:28

*) Với $\widehat{xOy}=180^{o}$ $\Rightarrow$ $(I)$ tiếp xúc $(K)$.

*) Với $\widehat{xOy}\neq180^{o}\Rightarrow$ luôn tạo được $\Delta OIK$.

Áp dụng bất đẳng thức $\Delta$ ta có $OK+OI> IK$ $\Rightarrow$ $(I)$ luôn cắt $(K)$ (tổng 2 bán kính $>$ đường nối tâm).

Vậy ta có đpcm