Hero Crab

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=7, ab+bc+ca=15. CMR: a=<11/3

Từ gt => b+c=7-a => ab+bc+ca = a(b+c)+bc=15 <=>a(7-a)=15-bc

Ta có bất đẳng thức phụ sau: $\frac{\left ( b+c \right )^{2}}{4}\geqslant bc$ $\forall b,c\in R$

=>$a(7-a)=15-bc$ $\geqslant $15-$\frac{\left ( b+c \right )^{2}}{4}$

<=>$-3a^{2}+14a-11\geq 0$

<=>$1\leqslant a\leqslant \frac{11}{3}$ (Đpcm) ^^

Cách khác:

Từ gt=>  xyz ≥ 1=> x+y+z ≥ 3$\sqrt[3]{xyz}$ ≥ 3

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

 $\frac{x^{2}}{y+2}+\frac{y+2}{9}\geq2\sqrt[2]{\frac{x^{2}}{y+2}.\frac{y+2}{9}}=\frac{2x}{3}$ 

CMTT ta cũng có

 $\frac{y^{2}}{z+2}+\frac{z+2}{9}\geq\frac{2y}{3}$;$ \frac{z^{2}}{x+2}+\frac{x+2}{9}\geq\frac{2z}{3}$  

Cộng các vế lại ta được:  

$\frac{x^{2}}{y+2}+\frac{y^{2}}{z+2}+\frac{z^{2}}{x+2}\geqslant \frac{5\left ( x+y+z \right )}{9}-\frac{2}{3}\geqslant \frac{15}{9}-\frac{2}{3}=1$

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 ^^