ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN MÔN TOÁN NĂM HỌC 2018 - 2019 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI.
Ngày thi thứ hai: 11 - 9 - 2018
Câu 1: Cho $n$ là số nguyên lớn hơn $1$ và $\left ( x_{1},x_{2},...,x_{n} \right )$ là một hoán vị của tập hợp $\left \{ 1,2,...,n \right \}$ (tập hợp gồm $n$ số nguyên dương đầu tiên). Chứng minh rằng: $\sum_{k=1}^{n}kx_{k}\left ( k+x_{k} \right )\leq \frac{n^{2}\left ( n+1 \right )^{2}}{2}.$
We have $ ab(a+b) \le a^3+b^3.$ So $k{x_k} \left( {k + {x_k}} \right) \le k^3+x_k^3.$ Hence, \[\sum\limits_{k = 1}^n {k{x_k}\left( {k + {x_k}} \right)} \le \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {{k^3} + x_k^3} \right)} = \sum\limits_{k = 1}^n {{k^3}} + \sum\limits_{k = 1}^n {x_k^3} = 2\sum\limits_{k = 1}^n {{k^3}} .\] But \[2\left( {{1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3}} \right) = \frac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{2}.\] So \[\sum\limits_{k = 1}^n {k{x_k}\left( {k + {x_k}} \right)} \le \frac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{2}.\]
L
PhamQuocSang
Thống kê
- Nhóm: Thành viên mới
- Bài viết: 22
- Lượt xem: 1906
- Danh hiệu: Binh nhất
- Tuổi: 29 tuổi
- Ngày sinh: Tháng ba 9, 1995
-
Giới tính
Nam
-
Đến từ
THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Quảng Nam
-
Sở thích
chẳng thích gì
- Website URL https://www.facebook.com/sang.phamquoc.9
Công cụ người dùng
Lần ghé thăm cuối
Trong chủ đề: ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN MÔN TOÁN NĂM HỌC 2018 - 2019 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHS...
11-09-2018 - 20:01
Trong chủ đề: Đề thi IMO 2018
09-07-2018 - 20:42
Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên $n \geq 3$ sao cho tồn tại các số thực $a_1, a_2, \dots a_{n + 2}$ thoả mãn
$$a_{n + 1} = a_1, a_{n + 2} = a_2$$
và
$$a_ia_{i + 1} + 1 = a_{i + 2} \,\,(*),$$
với mọi $i = 1, 2, \dots, n$
Từ $(*)$ ta suy ra \begin{align*} {a_i}{a_{i + 1}}{a_{i + 2}} + {a_{i + 2}} = a_{i + 2}^2 &\Rightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} {a_{i + 1}}{a_{i + 2}} + \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} = \sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2} \\ &\Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} \left( {{a_{i + 1}}{a_{i + 2}} + 1} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2} \\ &\Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} {a_{i + 3}} = \sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2} \end{align*} Từ đây ta suy ra $a_i=a_{i+3}$ với $1\leq i\leq n$. Do đó, $n$ chia hết cho $3$, thì thoả yêu cầu bài toán.\\ Ngoài ra, ta thấy $a_{3k+1}=a_{3k+2}=-1, a_{3k+3}=2$ là một bộ thoả yêu cầu bài toán $0\leq k\leq\dfrac{n}{3}$
Trong chủ đề: Đề thi IMO 2018
09-07-2018 - 20:41
Bài 1: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $T$. Điểm $D$ và $E$ nằm trên các đoạn $AB$ và $AC$ tương ứng sao cho $AD=AE$. Đường trung trực của cạnh $BD$ và $CE$ lần lượt cắt cung nhỏ $AB$ và $AC$ tại $F$ và $G$. Chứng minh rằng $DE$ và $FG$ song song hoặc trùng nhau.
Gọi $M$, $N$, $M'$, $N'$ lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ $AB$, cung nhỏ $AC$, cung lớn $ACB$, và cung lớn $ABC$. Gọi $O$ là tâm của đường tròn $\Gamma$.\\ Lấy điểm $K \neq F$ trên $\Gamma$ sao cho $FK$ và $MM'$ song song, lấy điểm $L \neq G$ trên $\Gamma$ sao cho $GL$ và $NN'$ song song.\\ Ta dễ thấy rằng khoảng cách giữa $FK$ và $MM'$ thì bằng một nữa của $AD$ = $AE$, và cùng bằng khoảng cách giữa $GL$ và $NN'$.\\ Từ đó ta có $MM'KF$ là hình thang cân, tương tự $N'NGL$ là hình thang cân, và do $MF = M'K = NG.$ Nên $MNGF$ là hình thang cân. Ta dễ thấy rằng $MN$ và $DE$ cùng vuông góc với phân giác góc $\angle BAC$ nên ta suy ra điều phải chứng minh.
Trong chủ đề: Đề thi HSG Toán 9 tỉnh Tây Ninh năm học 2017-2018
23-04-2018 - 15:11
5a đưa về chứng minh 2 đường trung tuyến BM và CN bằng nhau thì suy ra tam giác ABC cân
- Diễn đàn Toán học
- → Đang xem trang cá nhân: Bài viết: PhamQuocSang