MoMo123

Ta có: $(x^{2}+1)(y^{2}+1)=x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1=x^{2}+y^{2}+(x^{2} y^{2}+\frac{1}{9})+\frac{8}{9}\geq x^{2}+y^{2}+\frac{2}{3}xy+\frac{8}{9}= (x+y)^{2}-\frac{4}{3}xy+\frac{8}{9}\geq \frac{2}{3}(x+y)^{2}+\frac{8}{9}$

Áp dụng bđt B.C.S: $(x^{2}+1)(y^{2}+1)((z+t)^{2}+\frac{4}{3})\geq (\frac{2}{3}(x+y)^{2}+\frac{8}{9})((z+t)^{2}+\frac{4}{3})\geq \frac{8}{9}(x+y+z+t)^{2}$: 

Ta cần chứng minh: $(z^{2}+1)(t^{2}+1)\geq \frac{2}{3}((z+t)^{2}+\frac{4}{3})\Leftrightarrow 3(xy-\frac{1}{3})^{2}+(x-y)^{2}$

Vậy bđt được chứng minh

Cách khác của mình(thực ra cũng gần giống của bạn )

Đặt

$\left\{\begin{matrix}x=\frac{a}{\sqrt{3}} & & & & \\ y=\frac{b}{\sqrt{3}} & & & & \\ z=\frac{c}{\sqrt{3}} & & & & \\ t=\frac{y}{\sqrt{3}} & & & & \end{matrix}\right.$

Quy về chứng minh $A=(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)(d^2+3) \geq 16(a+b+c+d)^2$

Trong 4 số $ a^2-1 ,\, ; b^2-1,\,; c^2-1,\,; d^2-1$ luôn tồn tại ít nhất 2 số cùng dấu

KMTTQ, giả sử đó là $a^2-1; b^2-1$

$\rightarrow (a^2-1)(b^2-1)\geq 0 \Leftrightarrow a^2b^2+1\geq a^2+b^2$

$\Rightarrow A \geq 4(a^2+b^2+2)(c^2+3)(d^2+3) \geq 2((a+b)^2+4)(c^2+3)(d^2+3)$

$=2[(a+b)^2+4][(cd-1)^2+3c^2+3d^2+2cd+8]\geq 16[(a+b)^2+4][1+\frac{(c+d)^2}{4}] \geq 16(a+b+c+d)^2 (Q.E.D)$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=d=1$

$\Leftrightarrow x=y=z=t=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}+\frac{1}{a+b}\geq\frac{(a+b)^2}{a+b+2ab}+\frac{1}{a+b}\geq\frac{(a+b)^2}{a+b+\frac{(a+b)^2}{2}}+\frac{1}{a+b}$

$ =\frac{2(a+b)}{a+b+2}+\frac{1}{a+b}\geq \frac{2(a+b)}{3}+\frac{1}{a+b} =[\frac{2(a+b)}{3}+\frac{2}{3(a+b}]+\frac{1}{3(a+b)}$

$\geq \frac{4}{3}+\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$

$\boxed{\text{Bài 38}}$ Cho $A=\left \{ 1;2;3;...;100 \right \}$

Chứng minh rằng với mỗi tập con gồm $48$ phần tử từ tập A luôn tồn tại 2 phần tử thuộc tập con đó có tổng chia hết 11

$\boxed{\text{Bài 39}}$Cho A là tập hợp gồm các số tự nhiên có phần tử nhỏ nhất là 1 và phần tử lớn nhất là 100. Tìm số phần tử nhỏ nhất của A sao cho với mọi $x\in A, x\neq 1$ luôn tồn tại 2 số $a,b$ sao cho $x=a+b$

$\boxed{\text{Bài 40}}$ Một bát giác lồi có các góc bằng nhau, độ dài các cạnh là số nguyên. Chứng minh các cạnh đối của bát giác bằng nhau

ĐỀ 7 

$$\boxed{\text{VMF}}$$

Bài 1. a)Cho 3 số a,b,c thỏa mãn $c^2+2(ab-bc-ca) =0,\, b\neq c ,\, ; a+b \neq c$

Chứng minh rằng $$\frac{2a^2-2ac+c^2}{2b^2-2bc+c^2}=\frac{a-c}{b-c}$$

b) Tìm số có 4 chữ số $\overline{abcd} $ sao cho 

1) $\overline{ab}; \overline{ad}$ là 2 số nguyên tố

2) $\overline{db}+c=b^2+d$

Bài 2:a)Tìm tất cả các bộ 3 số $(x,y,z) $ thỏa mãn

$\left\{\begin{matrix}x+y+z=3 & & & \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{3} & & & \\ x^2+y^2+z^2 =17 & & & \end{matrix}\right.$

b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}2x+2y+xy=5 & & \\27(x+y)+y^3+7=26x^3+27x^2+9x & & \end{matrix}\right.$

Bài 3. Cho $x,y,z,t >0$

Chứng minh BĐT sau

$$(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)(t^2+1) \geq \frac{16}{27}(x+y+z+t)^2$$

Bài 4:Cho $\Delta ABC$ đều nội tiếp $(O)$ , độ dài  đường cao là h. M thuộc cung nhỏ BC của $(O)$. Gọi A',B',C' là hình chiếu của M lên BC,CA,AB

1) Chứng minh $\frac{MB'}{MC'}+\frac{MC'}{MB'} -\frac{h}{MA'} $ không đổi khi M di chuyển trên cung nhỏ BC

2) Chứng minh rằng $MA'\leq \frac{h}{3}$ 

Bài 5.

Cho tập $A=\left \{ 1,2,3,...,n \right \}$ với $n > 3$

Chứng minh có thể bỏ đi 2 số thuộc tập A sao cho tổng các số còn lại là một số chính phương

Bài 138: Với a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{2}{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}-\frac{3}{\sqrt{a+b+c}}$

$$ a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc} =a+\frac{1}{2}\sqrt{a.4b}+\frac{1}{4}\sqrt[3]{a.4b.16c} \leq a+\frac{a}{4}+b +\frac{a}{12}+\frac{b}{3}$$

Nên $$ a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc} \leq \frac{4(a+b+c)}{3}$$=

Từ đây suy ra $$P \geq \frac{3}{2(a+b+c)}-\frac{3}{\sqrt{a+b+c}} \geq ....$$

 

 $\boxed{\text{Bài 34}}$ Người ta viết trên bảng dãy các STN liên tiếp từ 1 đến 100 .Thực hiện trò chơi : Tiến hành xoá a,b bất kì trong dãy , viết lại 1 số là $a^{3} + b^3$ .Thực hiện trò chơi đến khi trên bảng còn lại 1 số . Hỏi số đó có thể là 9876543212019 không ? 

 $\boxed{\text{Bài 35}}$ Trên bảng ghi 2018 số $\frac{1}{1}; \frac{1}{2} ; .... ; \frac{1}{2018}.$ Mỗi lần xoá đi 2 số bất kì , ta thay bằng số $z = \frac{xy}{x+y+1}$ và giữ nguyên các số còn lại .Sau 2017 lần thực hiện thì trên bảng còn lại một số.Tìm số còn lại đó.

 

Xí bài dễ 

$\boxed{\text{Bài 34}}$ 

Ta có $$a^3 \equiv a(mod 3)$$

         $$b^3 \equiv b(mod3)$$

nên $$a^3+b^3\equiv a+b(mod 3)$$

Vì thế sau xóa và viết lại các số, số nhận được luôn có cùng số dư với tổng 2 số ban đầu. Vì tổng các số ban đầu không chia hết 3 nên số còn lại không thể chia hết 3. Mà $9876543212019 $(số gì đã dài )  chia hết 3. Nên số còn lại không thể là số $9876543212019.$

$\boxed{\text{Bài 36}}$ 

Nhận thấy $$z=\frac{1}{(\frac{1}{x}+1)(\frac{1}{y}+1)-1}$$ 

Nên số cuối cùng còn lại chính là $$A= \frac{1}{(\frac{1}{1}+1)(\frac{1}{2}+1)...(\frac{1}{2018}+1)} = \frac{1}{2019}$$

Cháy lên nào TOPIC ơi

$\boxed{\text{Bài 135}}$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng

$\frac{8}{a+b)^2+4abc}+\frac{8}{(b+c)^2+4abc}+\frac{8}{(c+a)^2+4abc} +a^2+b^2+c^2 \geq \frac{8}{a+3}+\frac{8}{b+3}+\frac{8}{c+3}$

$\boxed{\text{Bài 136}}$ Cho $x,y,z,t$ là các số thực dương. Chứng minh

$(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)(t^2+1)\geq \frac{16}{27}(x+y+z+t)^2$

$\boxed{\text{Bài 137}}$ Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$

Tìm Min $P=2(a^2b+b^2c+c^2a)+a^2+b^2+c^2+4abc$

Gọi P là trung điểm BC

a) Xét tam giác đồng dạng

b)AMDN nội tiếp $\angle ANM=\angle ADM$

Từ câu a suy ra $ \angle CAK=\angle DAM$

nên $\angle CAK+\angle ANM= \angle DAM +\angle  ADM =90^0$

c) DBCK là hình bình hành nên P là trung điểm DK

Từ đây suy ra $IP//AK$(1)

Dễ dàng chứng minh được $\Delta IMN$ cân và $IJ  \bot  MN$ mà $MN\bot AK$ nên $ IJ //AK$(2)

Từ (1)(2) ta suy ra $I,J,P$ thẳng hàng

d)

Dễ dàng chứng minh DT là đường kính của (IMN) nên $IN^2=IJ.IT =ID^2$

nên ID là tiếp tuyến của (IMN)

hay AD là tiếp tuyến của (IMN)

$\boxed{\text{Bài 90}}$ Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$ có $AB<AC$.Gọi M là trung điểm BC.AM cắt (O) tại điểm thứu 2 là D. Đường tròn ngoại tiếp $\Delta MDC$ cắt đường thẳng AC tại E. Đường tròn ngoại tiếp $\Delta MBD$ cắt đường thẳng AB tại F.

a) Chứng minh $\Delta CED\, \sim \, \Delta BFD$ và E,M,F thẳng hàng

b) Phân giác $\angle BAC$ cắt EF tại N. Phân giác $\angle CEM$ cắt CN tại P. Phân giác $\angle BFN$ cắt BN tại Q. Chứng minh $PQ//BC$

Tiếp tục nào

$\boxed{\text{Bài 31}}$ Số nguyên a được gọi là số ''đẹp'' nếu với mọi cách sắp xếp theo thứ tự tùy ý của 100 số 1,2,3,..,100 luôn tồn tại 10 số hạng liên tiếp có tổng lớn hơn hoặc bằng a. Tìm số đẹp lớn nhất.

$\boxed{\text{Bài 32}}$ Trên mặt phẳng cho 10 tam giác, trong đó bất kỳ 2 tam giác nào cũng có điểm chung. Chứng minh rằng tồn tại 1 đường thẳng giao với toàn bộ đa giác.

$\boxed{\text{Bài 33}}$ Cho bảng ô vuông 10x10 gồm 100 ô vuông kích thước 1x1. Điền vào mỗi ô vuông một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho 2 số được điền ở 2 ô vuông chung cạnh hoặc chung đỉnh nguyên tố cùng nhau. Chứng minh trong bảng ô vuông đã cho có một số xuất hiện ít nhất 17 lần

Khuấy đảo topic lại nào . Mình xin gửi tặng topic 1 bài : 
Bài 133 : Cho a,b,c là các số thực dượng thỏa mãn ab+bc+ac $\leq$ 3abc .CMR :
     $\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}} + \sqrt{\frac{c^{2}+b^{2}}{c+b}}+ \sqrt{\frac{a^{2}+c^{2}}{a+c}} +3 \leq \sqrt{2}(\sqrt{a+b}+\sqrt{c+b}+\sqrt{a+c})$

Đây là lời giải của HelpMelmDying, trình bày ra vậy

Ta có $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}} +\sqrt{\frac{2ab}{a+b}} \leq \sqrt{2(a+b)}$

Tương tự các biến còn lại nên ta được 

$$\sum \sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}}+\sqrt{\frac{2ab}{a+b}} \leq \sum \sqrt{2(a+b)}$$

Cần chứng minh $\sum \sqrt\frac{2ab}{a+b} \geq 3$

Ta có $\sum\sqrt\frac{2ab}{a+b}=\sqrt{2abc}(\sum \frac{1}{\sqrt{c(a+b)}})\geq\sqrt{2abc}(\frac{9}{\sum\sqrt{a(b+c)}})\geq \sqrt{2abc}{\frac{9}{\sqrt{6(ab+bc+ca)}}}=3$

Đúng rồi anh Duy Thai , nhưng mà không ảnh hưởng lắm vì R và S có thể đổi chỗ mà ạ 

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. $AD \cap BC = R$, $AC \cap BD = S$. Tiếp tuyến tại $A$ và $B$ cắt nhau tại $Q$. Chứng minh rằng $R,S,Q$ thẳng hàng

Đây là một hệ quả của định lí Brocard
Gọi giao điểm thứ 2 của đường tròn ngoại tiếp $\Delta BRD$ với SR là I. Dễ dàng chứng minh CRIA nội tiếp bằng phương tích.
$\angle BIA =\angle 360^0-\angle RIB-\angle RIA=\angle RCA+\angle ADB =\angle BOC$ nên BIOA nội tiếp
$\angle OIR =360^0-\angle RIB -\angle OIB= \angle OAB +\angle ADB=90^0$
Gọi $Q'$ là giao điểm của SI và tiếp tuyến tại B. Vì $\angle OIQ'=\angle OBQ'=90^0$ nên Q'BIO nội tiếp.
Mặt khác BIOA cũng nội tiếp $\rightarrow O,I,Q',A,B $ cùng thuộc 1 đường tròn . Nên $Q' \equiv Q$ Từ đây suy ra R,Q, S thẳng hàng

Bài 29: Cho một bảng kích thước $2n \times 2n$ ô vuông. Người ta đánh dấu vào 3n ô bất kì của bảng. CMR có thể chọn ra n hàng và n cột sao cho các ô được đánh dấu đầu nằm trên các hàng, các cột này

 

Ta chọn ra n hàng chứa số ô được đánh dấu nhiều nhất. Ta sẽ chứng minh trong n hàng còn lại, số ô được đánh dấu không quá n 

Giả sử ngược lại, tức là ở n hàng còn lại, có nhiều hơn n ô được đánh dấu.$\Rightarrow \exists$  có ít nhất 1 hàng trong n hàng không được chọn ra này có chứa nhiều hơn 2 ô được đánh dấu.$(1)$

Mặt khác, vì tổng số ô được đánh dấu trong các hàng được chọn ra $>n$ nên tổng số ô được đánh dấu $<2n$

$$\Rightarrow \exists$ 1 hàng trong các hàng được chọn ra chứa ít hơn 2 ô được đánh dấu. (2)

Từ $(1)(2)$ suy ra mâu thuẫn.

$\Rightarrow $ số ô được đánh dấu trong n hàng còn lại không vượt quá n ô.Nên, ta có thể chọn ra n cột chưa n ô này.

n cột và n hàng được chọn ra là cái ta cần tìm.

P/s: Bài 30 phức tạp kinh

$\boxed{\text{CHÚ Ý}}$  Các thành viên ra $\boxed{\text{Đề 3}}$ $\boxed{\text{Đề 4}}$ đưa "key". Thành viên nào muốn đăng kí $\boxed{\text{Đề 6}}$ $\boxed{\text{Đề 7}}$ liên hệ với Conankun hoặc MoMo123

Quên . Dạo này buồn vì ông rời VMF nên quên luôn  

Bài 5: Cho 1251 số tự nhiên phân biệt $a_{i}$ (với $i,j \in \left \{ 1;2;...;1251 \right \}$và không vượt quá 2017. Chứng minh rằng tồn tại 2 số tự nhiên $i,j$ thỏa mãn $i,j\in \left\{1,2,....,1251\right\}$ và $|\sqrt{ia_{i}}-\sqrt{ja_{j}}| \geq 5$

Mình xin đưa ra lời giải

Ta sẽ chứng minh tồn tại $ia_{i}$ sao cho $ia_{i}\geq 2500$

Giả sử ngược lại, tức là tất cả $ia_{i}$ đều $<2500$

$\left\{\begin{matrix}1250a_{1250}<2500 & & \\ 1251a_{1251}<2500 & & \end{matrix}\right.$

$\rightarrow a_{1250}=a_{1251} =1$(trái với giả thiết ) 

$\Rightarrow \exists ia_{i} \geq 2500$

$$\Rightarrow |\sqrt{ia_{i}}-\sqrt{1.a_{1}}| \geq |50-\sqrt{2017}| >5$$