TrucCumgarDaklak

Lúc mới xem đề mình còn tưởng tuyển sinh toán thường kia....

BĐT này sử dụng công cụ đạo hàm để tìm ra phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x=1 ( chỉ học cuối chương trình 10 chuyên hoặc 11 chuyên)

Tại mình nghĩ chuyên học mấy cái này sớm chứ

Bài bất cho đề như vậy là quá tệ. Làm sao có thể nhảy ra một bất đẳng thức phụ như thế. Nhất là khi chưa gặp bao giờ và ngồi trong phòng thi làm sao làm được. Ít ra phải cho câu a là gợi ý chứ. Đề thi năm nay chán quá

Bất đẳng thức phụ này tìm tòi ra trong lúc chứng minh chứ có ai nói là nó tự nhảy ra đâu bạn

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{2}=y^{2}+y^{3}$

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(x+y)+f(x-y)-2f(x)f(1+y)=2xy(3y-x^{2}),\forall x,y\in \mathbb{R}$

giải hpt 

$\left\{\begin{matrix} x^3-3x^2+6x-4=y^3+3y (1)& \\ \sqrt{x-3} +\sqrt{y+1}=3 (2)& \end{matrix}\right.$

$DK: x\geq 3,y\geq -1$

$(1)$ $\Leftrightarrow \left ( x-1 \right )^{3}+3\left ( x-1 \right )=y^{3}+3y$

Xét $f(t)=t^{3}+3t,\forall t\in \mathbb{R}$

$f'(t)=3t^{2}+3>0,\forall t\in R$

$\Rightarrow f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

$\Rightarrow f\left ( x-1 \right )=f\left ( y \right )\Leftrightarrow x-1=y$

Thế vào $(2)$: $\sqrt{x-3}+\sqrt{x}=3$

Bình phương hai lần hoặc nhân liên hợp $\Rightarrow x=4\Rightarrow y=3$

Vậy $(x;y)=(4;3)$

Với quy nạp chứng minh được $x_{n}>0$

$x_{n+1}-x_{n}=\frac{x_{n}^{2}}{2014}>0$

$\Rightarrow$ dãy tăng

$x_{n+1}=\frac{x_{n}^{2}}{2014}+x_{n}\Leftrightarrow \frac{x_{n}^{2}}{2014}=x_{n+1}-x_{n}\Leftrightarrow \frac{x_{n}}{x_{n+1}}=2014\left ( \frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n+1}} \right )$

$\Rightarrow lim\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}}{x_{i+1}}=lim\left [ 2014\left ( \frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{n+1}} \right ) \right ]$

Giả sử dãy bị chặn trên, vì dãy tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn. Gọi $limx_{n}=t$ ($t>0$), chuyển qua giới hạn hữu hạn khi $n\rightarrow +\infty$

$t=\frac{t^{2}}{2014}+t\Leftrightarrow t=0$ (vô lí)

$\Rightarrow$ dãy không bị chặn trên $\Rightarrow limx_{n+1}=+\infty \Rightarrow lim\frac{1}{x_{n+1}}=0$

$\Rightarrow lim\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}}{x_{i+1}}=\frac{2014}{x_{1}}=\frac{2014}{a }$

$x^{3}+y^{3}-x^{2}y-xy^{2}=\left ( x+y \right )\left ( x^{2}-xy+y^{2} \right )-xy\left ( x+y \right )=\left ( x+y \right )\left ( x-y \right )^{2}\geq 0$ (vì $x+y>0$ và $\left ( x-y \right )^{2}\geq 0$)

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y$

---Phúc Ngô gửi bạn cũ ---

$III.2$

$u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_{n}\Leftrightarrow u_{n+2}-2u_{n+1}=3\left ( u_{n+1}-2u_{n} \right )$

Đặt $u_{n+1}-2u_{n}=v_{n}$, ta có:

$\left\{\begin{matrix} v_{1}=1 & & \\ v_{n+1}=3v_{n} & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow v_{n}=3^{n-1}\Rightarrow u_{n}=2u_{n-1}+3^{n-2}$

$\Leftrightarrow u_{n}-3^{n-1}=2\left ( u_{n-1}-3^{n-2} \right )=...=2^{n-1}\left ( u_{1}-1 \right )=2^{n-1}\Leftrightarrow u_{n}=2^{n-1}+3^{n-1}$

$\Rightarrow lim\frac{u_{n}}{3^{n}}=lim\frac{2^{n-1}+3^{n-1}}{3^{n}}=\frac{1}{3}$

Tìm số tự nhiên $x$ sao cho $x^{4}+4^{x}$ là số nguyên tố

$\left\{\begin{matrix} u_{1}=2 & \\ u_{1}+u_{2}+u_{3}+.....+u_{n}=n^{2}u_{n} (1) & \end{matrix}\right.$

Tìm Lim $n^{2}.u_{n}$

Từ $(1)$$\Rightarrow u_{1}+u_{2}+...+u_{n-1}=\left ( n-1 \right )^{2}u_{n-1}(2)$

Lấy $(1)$-$(2)$$\Rightarrow u_{n}=n^{2}u_{n}-\left ( n-1 \right )^{2}u_{n-1}\Leftrightarrow \left ( n-1 \right )^{2}u_{n-1}=n^{2}u_{n}-u_{n}=\left ( n^{2}-1 \right )u_{n}\Leftrightarrow \frac{u_{n}}{u_{n-1}}=\frac{\left ( n-1 \right )^{2}}{n^{2}-1}=\frac{n-1}{n+1}$

$\Rightarrow u_{n}=\frac{u_{n}}{u_{n-1}}\cdot \frac{u_{n-1}}{u_{n-2}}...\frac{u_{2}}{u_{1}}\cdot u_{1}=\frac{n-1}{n+1}\cdot \frac{n-2}{n}...\frac{1}{3}\cdot 2=\frac{4}{n\left ( n+1 \right )}$

$\Rightarrow limn^{2}u_{n}=lim\frac{4n}{n+1}=lim\frac{4}{1+\frac{1}{n}}=4$

Mình có giải ở đây https://diendantoanh...là-tam-giác-gì/

khô

 

không hiểu à từ điều kiện thì BĐT cuối của bạn TrucCumgarDaklak bị ngược dấu không =$\frac{3\sqrt{17}}{2}$

Đọc nhầm đề rồi, tưởng $a+b+c=6$

'

$AM-GM$: $2x\sqrt{x^{2}+2x+8}\leq\frac{\left ( 2x \right )^{2}+x^{2}+2x+8}{2} =\frac{5x^{2}+2x+8}{2}=\frac{6x^{2}-2x+12-\left ( x-2 \right )^{2}}{2}\leq \frac{6x^{2}-2x+12}{2}=3x^{2}-x+6$

Đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow x=2$

Vậy $x=2$