Đến nội dung

kytrieu

kytrieu

Đăng ký: 21-07-2017
Offline Đăng nhập: 10-06-2019 - 11:26
***--

#708135 Cho các số thực dương x,y>1. Tính Min T=$\frac{(x^3+y^3)-(...

Gửi bởi kytrieu trong 12-05-2018 - 12:00

Cho các số thực dương x,y>1. Tính Min T=$\frac{(x^3+y^3)-(x^2+y^2)}{(x-1)(y-1)}$

Áp dụng Cauchy-Schwarz và AM-Gm, ta có

$T= \frac{x^{2}}{y-1}+\frac{y^{2}}{x-1}\geq \frac{(x+y)^{2}}{x+y-2}+4(x+y-2)-4(x+y-2)\geq 4(x+y)-4(x+y-2)=8$




#698591 Câu 1: Cho 2 số dương $x, y$ thỏa mãn $2xy - 4 = x + y$....

Gửi bởi kytrieu trong 19-12-2017 - 21:29

Câu 1: Cho 2 số dương $x, y$ thỏa mãn $2xy - 4 = x + y$. Tìm GTNN của biểu thức

P = $xy + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

 

Từ đk suy ra $xy\geq 4$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có

$P=xy+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq xy+\frac{2}{xy}=\frac{16}{xy}+xy-\frac{14}{xy}\geq 8-\frac{14}{2}=\frac{9}{2}$




#697887 Giải phương trình: ${x^2} - 2\left( {x + 1}...

Gửi bởi kytrieu trong 06-12-2017 - 21:39

Giải phương trình:

 
${x^2} - 2\left( {x + 1} \right)\sqrt {3x + 1}  = 2\sqrt {2{x^2} + 5x + 2}  - 8x - 5$

ĐK $x\geq \frac{-1}{3}$

PT $\Leftrightarrow (x+1)^{2}-2(x+1)\sqrt{3x+1}=2\sqrt{(2x+1)(x+2)}-6x-4\Leftrightarrow (x+1-\sqrt{3x+1})^{2}=-(\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2})^{2}$

$\Leftrightarrow x+1-\sqrt{3x+1}=\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}=0\Leftrightarrow x=0$




#697884 Chứng minh rằng: $\frac{1}{{{{\l...

Gửi bởi kytrieu trong 06-12-2017 - 21:30

 

Anh chị giúp em bài này với

Chứng minh rằng:

$\frac{1}{{{{\left( {1 + a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {1 + b} \right)}^2}}} \ge \frac{1}{{1 + ab}},\forall a,b > 0$

 

BĐT $\Leftrightarrow (1+a)^{2}(1+ab)+(1+b)^{2}(1+ab)-(1+a)^{2}(1+b)^{2}\geq 0$

$\Leftrightarrow a^{3}b+ab^{3}-a^{2}b^{2}-2ab+1\geq 0$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có

$a^{3}b+ab^{3}-a^{2}b^{2}-2ab+1\geq 2a^{2}b^{2}-a^{2}b^{2}-2ab+1=(ab-1)^{2}\geq 0$

Vậy bt được cm




#697361 Cho a,b,c >0 ;abc=1.Chứng minh: $\sum \frac{1}...

Gửi bởi kytrieu trong 28-11-2017 - 12:29

Đây nữa nhé

4.Cho a,b,c >0; abc=1.CM: $\sum \frac{1}{(a+1)(a+2)}\geq \frac{1}{2}$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\frac{xy}{z^{2}}\\ b=\frac{yz}{x^{2}}\\ c=\frac{zx}{y^{2}} \end{matrix}\right.$

BĐT trở thành $\sum \frac{x^{4}}{(yz+x^{2})(yz+2x^{2})}\geq \frac{(\sum x^{2})^{2}}{2\sum x^{4}+\sum x^{2}y^{2}+3xyz(x+y+z)}\geq \frac{(\sum x^{2})}{2\sum (x^{2})^{2}}=\frac{1}{2}$




#697074 Tìm Min $P=\sum \frac{a^{2}}{b+c...

Gửi bởi kytrieu trong 23-11-2017 - 17:58

cho a,b,c>0 thỏa mãn $\sum a^{2}=1$. Tìm Min $P=\sum \frac{a^{2}}{b+c}$

Ta có

$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c)=\sum a^{3}+\sum ab(a+b)\geq \sum \frac{a^{3}+b^{3}}{2}+\sum ab(a+b)\geq \frac{3}{2}\sum ab(a+b)\Rightarrow \sum ab(a+b)\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$P=\sum \frac{a^{2}}{b+c}=\sum \frac{a^{4}}{a^{2}(b+c)}\geq \frac{(\sum a^{2})^{2}}{\sum ab(a+b)}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$




#696770 $\frac{a^{3}}{(1+a)(1+b)}+\frac...

Gửi bởi kytrieu trong 18-11-2017 - 11:55

2)Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $abc=1$. CMR:

$\frac{a^{3}}{(1+a)(1+b)}+\frac{b^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{c^{3}}{(1+c)(1+a)}\geq \frac{3}{4}$

Ta có

$\frac{a^{3}}{(1+a)(1+b)}+\frac{1+a}{8}+\frac{1+b}{8}\geq \frac{3}{4}a$

Tương tự cộng vế ta được $VT+\frac{a+b+c+3}{4}\geq \frac{3}{4}(a+b+c)\Rightarrow VT\geq \frac{1}{2}(a+b+c)-\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}$




#696436 Tìm GTLN của P=(x-1)(y-2)(z-3)

Gửi bởi kytrieu trong 12-11-2017 - 11:29

Cho x,y,z>0 thoả mãn x>1,y>2,z>3 và $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}\geq 2$

Tìm GTLN của P=(x-1)(y-2)(z-3)

Ta có

$\frac{1}{x}\geq \frac{y-2}{y}+\frac{z-3}{z}\geq 2\sqrt{\frac{(y-2)(z-3)}{yz}}$

Tương tự nhân vế theo vế suy ra $P\leq \frac{3}{4}$




#696229 $\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x...

Gửi bởi kytrieu trong 08-11-2017 - 17:31

Bài 1: Cho $x;y;z>0$ và $x^2+y^2+z^2=3$.

Chứng minh: $\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\geq 3$

Ta có

$VT^{2}=\frac{(xy)^{2}}{z^{2}}+\frac{(yz)^{2}}{x^{2}}+\frac{(zx)^{2}}{y^{2}}+2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})=9$

suy ra đpcm




#696120 hình chữ nhật ABCD có chu vi $\geq 2\sqrt{2}$....

Gửi bởi kytrieu trong 05-11-2017 - 21:40

Cho hình chữ nhật ABCD có chu vi không nhỏ hơn 2 nhân căn 2 . Lấy M,N,P,Q bất kỳ theo thứ tự thuộc AB, BC, CD ,DA .CMR chu vi tứ giác MNPQ không nhỏ hơn 2

Ta có 

$P_{MNPQ}=MN+NP+PQ+QM=\sqrt{AM^{2}+AQ^{2}}+\sqrt{BM^{2}+BN^{2}}+\sqrt{CN^{2}+CP^{2}}+\sqrt{DP^{2}+DQ^{2}}\geq \frac{AM+AQ+BM+BN+CN+CP+DP+DQ}{\sqrt{2}}\geq 2$




#694814 Toán ĐẠI SỐ NÂNG CAO (KHÓ)

Gửi bởi kytrieu trong 15-10-2017 - 09:05

bạn tham khảo tại đây https://vn.answers.y...30043522AAawq8A

                                   :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:




#694108 Các bạn chứng minh hộ mình: Hai số lẻ liên tiếp thì nguyên tố cùng nhau

Gửi bởi kytrieu trong 03-10-2017 - 18:20

Gọi 2 số lẻ liên tiếp là: 2a+1;2a+3 (a\in \mathbb{Z})

         ƯCLN(2a+1,2a+3)= d (d\in \mathbb{N*})

Ta có:

       2a+1\vdots d vaf2a+3 \vdots d

\Rightarrow (2a+3-2a-1) \ddots d
\Rightarrow 2 \vdots d \Rightarrow d=1 hoăc d=2
vì 2a+1 và 2a+3 lẻ \Rightarrow d=2 (loại)
\Rightarrow d=1
\Rightarrow 2 số lẻ liên tiếp là 2 số nguyên tố cùng nhau
p/s bạn có thể tham khảo phầm mềm này http://www.codecogs....x/eqneditor.php



#694099 Chứng minh n^3 + 1 không chính phương với n là số tự nhiên lẻ

Gửi bởi kytrieu trong 03-10-2017 - 11:40

bạn tham khảo tại đây:https://diendantoanh...ố-chính-phương/




#694059 Cho a,b,c >0. CMR: $\frac{a^{3}}{b^...

Gửi bởi kytrieu trong 02-10-2017 - 11:40

Cho a,b,c >0. CMR: $\frac{a^{3}}{b^{4}}+\frac{b^{3}}{c^{4}}+\frac{c^{3}}{a^{4}}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Ta có

$\frac{a^{3}}{b^{4}}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\geq \frac{4}{b}$

Tương tự rồi cộng vế ta được

$VT+3(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 4(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ suy ra đpcm




#694038 Chứng minh rằng với mọi $n \in Z^+$ ta đều có: $A < 2...

Gửi bởi kytrieu trong 01-10-2017 - 20:46

Chứng minh rằng với mọi $n \in Z^+$ ta đều có:

$A = \frac{1}{2\sqrt{1}} + \frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{1}{4\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{(n + 1)\sqrt{n}} < 2$.

 

Thầy có chỉ cho mình hướng giải như sau:

Với $k \in Z^+$, xét: $\frac{1}{(k + 1)\sqrt{k}} = \sqrt{k}(\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = \sqrt{k}(\frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k + 1}})(\frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{\sqrt{k + 1}}) < \sqrt{k}(\frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k}})(\frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{\sqrt{k + 1}}) = \frac{2}{\sqrt{k}} - \frac{2}{\sqrt{k + 1}}$.

Suy ra: $\frac{1}{(k + 1)\sqrt{k}} < \frac{2}{\sqrt{k}} - \frac{2}{\sqrt{k + 1}}$.

Áp dụng công thức trên vào bài toán cần chứng minh, ta sẽ được:

$A = \frac{1}{2\sqrt{1}} + \frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{1}{4\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{(n + 1)\sqrt{n}} < 2 - \frac{2}{\sqrt{n + 1}}$.

Tới đây thì mình không biết phải giải quyết thêm như thế nào? Nếu ai biết thì chỉ dẫn giúp mình nhé.

 

Thanks.

Ta có

$A< 2-\frac{2}{\sqrt{n+1}}$

Do $\frac{2}{\sqrt{n+1}}> 0\Rightarrow -\frac{2}{\sqrt{n+1}}< 0\Rightarrow A< 2-\frac{2}{\sqrt{n+1}}< 2$