longnguyentan2002

Đề thi ở mục đính kèm
Mọi người cho ý kiến với ạ!

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG                                       ĐỀ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC 30/4

       NĂM HỌC: 2017-2018 - MÔN: TOÁN 10

Câu 1. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x+y=1\\ \sqrt{x+\frac{1}{x}}+\sqrt{y+\frac{1}{y}}=2\sqrt{10xy} \end{matrix}\right.$

Câu 2. Cho các dãy số thực $\left ( a_{n} \right )$ xác định như sau:

$a_{1} = 3; a_{2} = 10$ và $a_{n+2} = 4a_{n+1}-2a_{n};\forall n\geq 1$

Tìm công thức tính $\left ( a_{n} \right )$. Chứng minh $a_{n}.a_{n+2} - a_{n+1}^{2} = 2^{n},\forall n\doteq 1$.

Câu 3. Cho các số nguyên $a,m$ nguyên tố cùng nhau. Gọi $d$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $a^{d}\equiv1$ (mod $m$). Chứng minh

$a^{n}\equiv a^{k}$ (mod $m$) khi và chỉ khi $n\equiv k$ (mod $d$).

Câu 4. Cho $A$ là tập hợp gồm $n$ phần tử là các số nguyên dương phân biệt ($n>1$) sao cho khi bớt đi một phần tử bất kỳ của $A$ thì tập hợp còn lại có thể chia được thành 2 tập con (có giao khác rỗng) sao cho tổng các phần tử ở mỗi tập con bằng nhau. Chứng minh các phần tử của $A$ cùng tính chẵn lẻ và $n\geq 7$.

Câu 5. Cho tam giác nhọn không cân $ABC$, có đường trung tuyến $AM$ và đường cao $AH$ ($M,H\in BC$). Các điểm $Q$ và $P$ lần lượt thuộc các tia $AB$ và $AC$ sao cho $QM\perp AC$ và $PM\perp AB$. Đường tròn ($PMQ$) cắt cạnh $BC$ lần thứ hai tại điểm $X$. Chứng minh rằng $BH=CX$.

P/s: kiểm tra lần 3