dunglamtym

Cho tam giác ABC, (O) là đường tròn ngoại tiếp, P, Q là hai điểm liên hợp đẳng giác. E, F theo thứ tự là giao điểm của QB, QC và AC, AB. R là giao điểm của đường thẳng qua E song song với PC và đường thẳng qua F song song với PB. Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại S. Chứng minh R,P,S thẳng hàng.

1. Tìm m,n nguyên dương sao cho: $mn|3^m+5^m;3^n+5^n$

2. Tìm n nguyên dương thỏa mãn: $n|2^{n-1}+1$

3. Tìm a,b,c nguyên để : $an!^2+bn!+c\vdots 2n+1\forall n\epsilon N^{*}$

4. Tìm số chính phương n,k mà $n,k\geq 2$ và $n+k^n;n.k^{k^n-1}+1$ là các số nguyên tố.

5. Tìm số nguyên dương n để {1! ; 2! ;...; n!} là hệ thặng dư đầy đủ mod n. 

6. Cho m,b là số nguyên dương, b lẻ. Chứng minh rằng $\exists a\in N^* : 2m\equiv a^{19}+b^{99}(mod2^{1999})$

7. a)Cho a,b,m,n là số nguyên dương thỏa mãn a^m=bⁿ.

CMR: $\exists u\in N^* : a=u^{\frac{n}{d}};b=u^{\frac{m}{d}}( d=(m,n))$

b) Tìm a,b nguyên dương mà : $a^{b^2}=b^a$

8. Cho a,b nguyên dương thỏa mãn : $a^{4n+1}|b^{4n+2};a^{4n+4}|b^{4n+3}$

CMR: a=b

9. CMR: $(n!)^{n^2+n+1}|(n^{3})!$ với mọi n nguyên dương.

10. Cho dãy số (x_n) : x₁=603; x₂=102 và $x_{n+2}=x_{n+1}+x_n+2\sqrt{x_n.x_{n+1}-2}$

a) Chứng minh dãy (x_n) nguyên

b) CMR: tồn tại vô số giá trị của n mà x_n có tận cùng là 2003.

CMR với mọi p nguyên tố lớn hơn 3 thì $L_p\equiv 1$ (mod p) ( Ở đây L là kí hiệu của dãy Lucas)

Tìm số nguyên tố p để $\frac{2^{p-1}-1}{p}$ là số chính phương.

Bài toán 1:

Cho a,b,c>0 thỏa mãn: a²+b²+c²=1. Chứng minh rằng:

$\frac{bc}{a^2+1}+ \frac{ca}{b^2+1}+\frac{ab}{c^2+1}\leq \frac{3}{4}$

Bài toán 2: Cho x,y>0 và x+y=2. Chứng minh rằng:

$x^4+y^4+8\sqrt{xy}\geq 10$

Bài toán 3:

Cho a,b,c>0. Chứng minh bất đẳng thức sau:

$\frac{b+c}{a+bc}+\frac{c+a}{b+ca}+\frac{a+b}{c+ab}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Vấn đề là tại sao nghĩ ra chọn 99 bộ kia mà 2 thừa số nhân với nhau có tổng là 200 ( 1+199, 2+198,...). Đơn giản bởi vì ta có: $(a+b)^2\geq 4ab$. Dấu = khi a=b, mà khi ta khống chế $ab\leq 100.100$ thì a+b=200.

Cách làm của bạn không thoát được rõ ý bởi vì đây là bài tổ hợp, bạn đúng, nhưng làm bằng lí luận sẽ có nhiều sai sót và người đọc khó hiểu.

Đơn giản bài 1 là thế này:

Ta đi CM: |X|_max = 9901

Xét 99 tập rời nhau:

{1;199}

{2;198;2.198}

{3;197;3.197}

...

{99;101;99.101}

Nhận thấy, trong 99 tập trên, mỗi tập phải loại ra ít nhất một phần tử ( vì nếu a,b thuộc X , a khác b thì ab không thuộc X)

=> Loại ra tất cả ít nhất 99 phần tử

=> Số phần tử còn lại của X nhiều nhất là 9901.

Nhận thấy, 9901 thỏa mãn vì tập {100;101;...;10000} thỏa mãn

Vậy, X có tối đa 9901 phần tử.

x + x²y = y+2

(2x+y)² + 3y²=12

Cho tam giác ABC không vuông. BE, CF là các đường cao. H là hình chiếu của A trên EF. M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CF. HM, HN theo thứ tự cắt AB, AC tại P, Q. Chứng minh rằng : $\frac{EQ}{EA}=\frac{FP}{FA}$

Bài 1: Cho tứ giác ABCD, O = AC ∩ BD. Phân giác của các góc AOB , BOC, COD ,DOA theo thứ tự cắt AB, BC, CA, AD tại M, N, P, Q. X, Y, Z, T theo thứ tự là trung điểm của QM, MN, NP, PQ. Chứng minh rằng AX, BY, CZ, DT đồng quy.

 

Bài 2: Cho tam giác ABC không vuông. BE, CF là các đường cao. H là hình chiếu của A trên EF. M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CF. HM, HN theo thứ tự cắt AB, AC tại P, Q. Chứng minh rằng EF đi qua trung điểm của PQ.

 

Bài 3: Cho tam giác ABC. Các điểm T, M, N thuộc BC sao cho MN và BC có cùng trung điểm. Các đường thẳng qua M, N song song với AT theo thứ tự cắt AB, AC tại P, Q. R là giao điểm của NP và MQ. D là giao điểm của AR và BC. Chứng minh: TD và BC có cùng trung điểm.

Có 1 số hướng nghĩ là : dùng vectơ, dùng tỉ số kép của hàng điểm và tỉ số kép của chùm đường thẳng.

Bài 1: Cho tứ giác ABCD, O = AC ∩ BD. Phân giác của các góc AOB , BOC, COD ,DOA theo thứ tự cắt AB, BC, CA, AD tại M, N, P, Q. X, Y, Z, T theo thứ tự là trung điểm của QM, MN, NP, PQ. Chứng minh rằng AX, BY, CZ, DT đồng quy.

Bài 2: Cho tam giác ABC không vuông. BE, CF là các đường cao. H là hình chiếu của A trên EF. M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CF. HM, HN theo thứ tự cắt AB, AC tại P, Q. Chứng minh rằng EF đi qua trung điểm của PQ.

Bài 3: Cho tam giác ABC. Các điểm T, M, N thuộc BC sao cho MN và BC có cùng trung điểm. Các đường thẳng qua M, N song song với AT theo thứ tự cắt AB, AC tại P, Q. R là giao điểm của NP và MQ. D là giao điểm của AR và BC. Chứng minh: TD và BC có cùng trung điểm.

Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I) và D là tiếp điểm của (I) với BC. Đường thẳng qua I và song song với BC cắt AB , AC lần lượt tại E và F. Gọi X là giao điểm của AB và DF ; Y là giao điểm của AC và DE. AD và XY gặp nhau tại Z.Chứng minh :

1. Đường thằng qua Z và song song với BC đi qua tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC.

2. Tam giác BCZ cân.

Giải hệ phương trình sau:

$x+y+3=3\sqrt{2y-1}$

$x^2 - y+2=0$

Cho n là số nguyên dương, n>1 và n là ước của 2ⁿ+3ⁿ. CMR: n chia hết cho 5.

( Kiến thức của cấp 3 làm được cũng cứ làm nhé )

Câu 1: 

Cho x=y=0 => f(0)=0

Cho y=0 => f(x³)=x.f(x²) 

Có: f(x³) + f(y³) = (x+y)(f(x²)+ f(y²) - f(xy))

=> x.f(x²) + y.f(y²)=(x+y)(f(x²)+ f(y²) - f(xy))

=> y.f(x²) + x.f(y²) = ( x+y).f(xy) (1)

Thay y bởi -x vào phương trình đã cho ta có : f(x³) = -f(-x³) => f là hàm lẻ.

Thay y bởi -y vào (1) ta có : -y.f(x²) +x.f(y²) = (x-y).f(-xy) = (y-x).f(xy) ( do f là hàm lẻ)  (2)

Cộng (1) và (2) ta có: x.f(y²) = y.f(xy) (3)

Thay y bởi 1 vào (3) ta có: x.f(1) = f(x)

=> f(x) = ax với mọi x thuộc R ( với a=f(1))

Thử lại đúng. Vậy ... 

*Ghi chú: ở đằng sau các phương trình đều phải ghi với mọi x,y thuộc R ( lười nên thôi :v)